張天蓉：丟番圖的墓誌銘

在追溯中國古代用極限思想求圓周率時，我們說到劉徽和祖沖之。比劉徽略早幾十年，另一位頗有貢獻的古希臘（後期）數學家是被譽為“代數之父”的丟番圖（Diophantine公元200～214至公元284～298），他是第一位將數學符號引入代數的人。也有人認為“代數之父”這個稱謂，應與比他大約晚出生五百年的一位波斯數學家花拉子米共享。

也許受歐幾里德的影響太深，古希臘數學家多以幾何著稱。但是，在希臘化的年代裡，也出了一位喜愛代數的丟番圖。

數論中有一個著名的“費馬大定理”，說的是“當整數n大於2時，方程xn+yn=zn沒有正整數解”。這個定理有一段饒有趣味的歷史。據說費馬在1637年，曾經專心閱讀一本數學書並做筆記。讀到第2卷第8題：“將一個平方數分為兩個平方數„„”時，費馬對此問題頗感興趣並推廣聯想到更為一般的情況。但費馬認為一般情形無解，於是在書頁邊的空白處寫下來這麼一段話：

“一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信我發現了一種美妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下。”

這便是後人稱之為“費馬大定理”的假設。之後，這個問題的證明困惑了數學家整整三百多年，最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底完成。

當年費馬閱讀的那本書，就是本篇文章的主角丟番圖所著的《算術》（Arithmetica）。

人們對丟番圖的準確出生年月及生活知道不多，只知他一生中基本居住和活躍在埃及的亞歷山大港。有趣的是，現代人對他的生卒年月日難以確定，但卻能確定他活了84歲，這個結論來自於丟番圖的墓誌銘。

這個奇特的墓誌銘是一道謎語般的數學題，翻譯如下：

“過路人！這里埋着丟番圖，

聰明的你算算他活了多少年？

他生命的1/6是幸福童年，

生命的1/12是蒙昧少年。

又過了生命的1/7他洞房花燭，

喜得1貴子是在婚後5年，

可惜這孩子只活到了他父親年紀的一半，

孩子死後4年，丟番圖也結束了他的塵世之緣。”

這段墓誌銘寫得太妙了。誰要想知道丟番圖的年紀，就得解一個一元一次方程，解出未知數的答案便是84。

丟番圖確實與代數方程結下不解之緣，他的主要著作，那本被費馬細讀的書《算術》，處理了求解代數方程組的許多問題。該書有不少篇幅已經遺失，在現存的版本中，仍然以問題和答案集的形式收錄了三百多個題目。因此，《算術》看起來不算是代數教科書，而更像是習題集。丟番圖是第一個認識到分數是一種“數”的希臘數學家，在他研究的方程中，允許係數和解為有理數，這個現在看起來不起眼的事情，在數學史中卻具有開創性，在數論和代數領域作出了傑出的貢獻，開闢了廣闊的研究道路。但因為那個年代的數學家最熟悉的還是整數，因而，在現代人的眼中，丟番圖的名字或許時常出現在數論中，例如，丟番圖方程、丟番圖幾何、丟番圖逼近等等，但在代數學中卻不常見。

丟番圖在數學符號方面也作出了貢獻。他認為代數符號比幾何圖像和人類語言更適宜於數學的深入發展，更能夠準確而深刻地表達概念、方法和邏輯之間的關係。因此，丟番圖儘量系統地使用符號，創造符號。符號的發明在數學史上是一次飛躍，我們現在都習慣了簡單的數學符號，仍然可以設想一下：一個公式，如果不用符號而僅用日常語言來表述，會十分冗長而含混不清。

丟番圖也有純粹幾何方式的書，如《多角數》，此外，還有《推論集》等其它著作。

公元8-9世紀，丟番圖的著作逐漸傳到阿拉伯國家，對阿拉伯數學產生巨大的影響。許多中世紀，以及後來的近代數學家，如剛才提及的費馬等，都受到過丟番圖的許多啟發。