天才中的天才:高斯

塞蒙斯《微分方程》歷史注記

高斯（Carl Fricdrich Gauss,1777—1855）是最偉大的數學家，也是有歷史記載的最有稟賦的天才。這位屹立在19世紀初的巨人是近代數學和以往一切數學的分水嶺。他在形象思維上的洞察力和創見，他工作成就的廣度和深度，他一再顯示出來的幾乎超人的智力和毅力，所有這些品質能夠結合在單獨一個人身上，這對我們後代也如同對他當時的人一樣，都是感到難以理解的。

高斯出生在德國北部城市布倫瑞克。他很小就表現出對於數有非凡才能，因此在晚年他打趣說：他在說話以前先會算數。據說哥德六歲就編導木偶戲的劇本和演出，莫扎特五歲就做出第一首兒時小步舞曲，而高斯三歲就糾正了他父親工資表上的一處計算錯誤。他父親是園丁兼泥水匠，既無錢也無意培養造就他這個天才孩子。幸虧高斯在心算方面的傑出才能引起了當地一些人物的注意，並終於使布倫瑞克公爵也知道了他。公爵很欣賞這個孩子，親自負責他以後的教育，先把他送到布倫瑞克的卡羅林學院（1792—1795)，其後讓他去格廷根大學(1795—1798)。

高斯在卡羅林學院裡掌握了古典語文並研讀了牛頓、歐拉和拉格朗日的著作。早在這一時期（也許是他十四、五歲之際）他就發現了質數定理，而那個定理終於在1896年由許多數學家經過很大努力後給予證明（參看本書中關於契比雪夫和黎曼的注記）。他也發明了使觀測數據的固有誤差為極小的最小二乘法，並提出了概率論中的高斯（或正態）分布律。

在大學裡，高斯對語言學發生興趣而討厭數學課，他的日後攻讀方向曾一度搖擺不定。然而他在十八歲時在幾何上做出了奇妙的發現，使他決心從事數學，並終生給他以極大的樂趣。古代希臘人知道用尺規作3,4,5及15邊的正多邊形，以及通過平分角法從這些正多邊形得出的所有其他正多邊形。但只能作這些，問題到這里擱了兩千年，直到高斯才把問題完全解決。他證明正n邊形尺規可作，當且僅當。等於2的一個乘冪與形為pk=22k+1的一些質數相乘的乘積，特別是當k=0,1,2,3時，相應的pk=3,5,17,257是質數，故有這種邊數的正多邊形是尺規可作的。

在這些年月里，高斯才思泉涌幾乎日不暇給。他開始作簡短科學日記，來記錄他所發現的事，因為他所發現的結果太多，當時都來不及詳述。第一項記錄的日子是1796年3月30日，內容是說正17邊形可作，但甚至在比這還早的日子裡，他已在深入鑽研數論里前人所未曾探索過的幾個領域。1795年他發現了二次互反律，並在其後寫道：“這個定理使我傷了整整一年的腦筋並且花了我極大的精力，最後終於找到證明。”

當時高斯還不知道這定理已由歐拉未加證明地提出了不完善的敘述，並由勒讓特提出了正確的敘述和不正確的證明。這是他的名著《算術論叢》(Dioquisitiones Arithmetical）的核心部分，該書雖於1798年寫完，但到1801年才發表。除了提到早期數學家的一些零碎結果之外，這部巨作的內容完全是創新的。一般認為這部著作標志着近世數論的真正開始，正如牛頓的《原理》對於物理和天文所起的作用一樣。在開頭作為引言的幾頁里，為研究可除性問題，高斯搞出了同餘的方法，並對算術基本定理（又叫唯一因子分解定理）給出了第一個證明。這個定理說的是：每個整數n﹥1可以唯一地表示為質數因子的乘積。該書的核心部分是主要討論二次同餘、齊式和餘式的。在最後一節里他給出了分圓方程的完整理論，並述及其對正多邊形是否可作問題的應用。整部著作是純數學上的一席盛宴，他的後繼者只能慢慢地勉為其難地加以消化。

高斯在他的《論叢》裡還創立了現代學者對待數學的嚴格方法和態度。他感到前人那種經不起推敲的敘述和證明是完全不能容忍的，因而決心要使他自己的著作在這方面無懈可擊。正如他在給友人信中所說的，“我所說的證明用意與律師的不同，律師認為兩個一半的證明等於整個證明，而我是按數學家的意義來了解的，即認為12證明=0，而要求有使任何疑問成為不可能的證明”。（證明出一半等於沒證明。）

《論叢》就是按照這個精神以高斯那種老練的文體寫成的，它簡單扼要，嚴密，不講來龍去脈，有些地方文字幾經琢磨，以致使人讀了幾乎不能理解。他在另一封信里說道：“你知道我寫得慢。這主要是因為我總想用儘量少的字句來表達儘量多的思想，否則決不干休，而寫得簡短比長篇大論地寫更花費時間。”

他的這種習慣所產生的效果之一是，他著作中所隱藏的內容幾乎同他所發表的一樣多，因為他花了不少力氣把引導他得出發現的思路痕跡統統刪除淨盡。阿倍耳曾說：“他像只狐狸，用尾巴抹平了自己在沙地上走過的腳印”。對於這些批評，高斯回答說凡有自尊心的建築師在樓房完工後總不會把腳手架留在那兒的。不過他的著作難於閱讀也使他的思想非常難於傳播。

高斯的博士論文（1799)也是數學史上的另一塊里程碑。經過早期數學家達朗貝爾、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯等人毫無結果的嘗試之後，代數基本定理終於在那裡第一次得到了令人滿意的證明。這定理論述實係數或復係數的任一多項式方程存在實根或復根。高斯的成功開創了進行存在性證明的新時代，從此以後，這種證明在純數學裡有了重要的作用。而且在這第一個證明里（他總共給出四個證明），看來高斯是第一個滿有把握地運用複數和複平面幾何的數學家。

高斯在他一生的第二個時期轉向繁重的應用數學工作，因而除了少數例外，他那豐富的思想寶藏只潛伏在他的日記和筆記中顯出其生命力。

在十八世紀九十年代，許多天文學者想在火星軌道和木星軌道之間找一個新行星，因為根據波德（Bode)定律（各行星到太陽的相對距離若以日地距離為10，形成一個數列： 3.9,7.2,10.0,15.2,26.5,52，95.4,192.307， 而這個數列可從下面簡單數列近似得出： 0,1,2,4,8,16,32,64,128 各乘以3得：0,3,6,12,24,48,96,192,384 再各項加4得：4，7，10，16，28，52，100,196,388（譯者注））（1772)，那裡應該還有一個行星。1801年在那個天域發現了後日叫小行星中的第一顆並且是最大的一顆穀神星（Ceres)。具有諷刺意義的是，這一發現與哲學家黑格爾發表一篇驚人文章的日子不謀而合。他在那篇文章里譏笑天文家學忽視哲學，說是哲學能夠給他們證明不可能再存在新的行星，免得他們浪費時間和精力。黑格爾繼續用這樣的腔調發表他的哲學文章，以後更連篇累牘地寫出神乎其神的哲學著作。（哲學礙事。）

令人遺憾的是這微渺的新行星即使在條件最佳時也很難以看到，不久又消失在太陽附近的亮的天域裡。當時需要根據少量的觀測數據來算出足夠精確的軌道，以便重新確定穀神星在遠離太陽時的位置。歐洲天文學家搞了好幾個月不成。最後高斯也被這一問題所吸引，他就以他的最小二乘法和他那無比的計算技能確定了軌道，告訴天文學家的望遠鏡往那裡去找，並且居然找到了。在別人努力統統失敗了之後，他成功地重又發現了穀神星。

這一成就帶給他聲譽，使公爵增加他的年金，並在1807任天文學教授和格廷根新天文台的第一任台長。他以那慣常的徹底精神執行他的任務，但結果是他討厭當了教授之後所帶來的那些行政瑣事、會議和官僚主義的繁文縟節。他對教書也毫無興趣，認為這是浪費他的時間，而且對於有才能的和沒有才能的學生（出於不同的原因）基本上無用。然而當他不得不教書的時候，他顯然教得很出色。他的一個學生——傑出的代數學家戴狄金（R. Dedekind)，在50年之後還感到高斯的講課是他“一生所聽過的最好、最難忘的”。

高斯有許多機會離開格廷根，但他謝絕所有聘請，在那裡渡過了他的餘生——生活平靜簡朴，很少外游，以巨大的精力從事數學及其應用方面各式各樣問題的研究。除了科學和瞻家之外（他結婚兩次，有六個子女，其中二人移居美國）,他的主要興趣是歷史和世界文學，國際政治以及財政事務。他擁有約六千卷各種文字的藏書，包括希臘、拉丁、英、法、俄、丹、德許多文字的書籍。他在處理個人財務問題的精明能幹從下面事實可知一二：他雖然幾乎是白手起家的，但他死後所遺財產超過他後半生每年收入的百倍以上。

十九世紀頭二十年間，高斯不斷寫出一些天文著作，其中最重要的是《天體運動理論》(Theoria Motus Corporum Coelestium,1809)。在其後一百多年間此書成為行星天文學上的一本聖經。書中處理攝動的方法，其後導致海王星的發現。高斯把天文當作他的職業而把純數學當作他的消遣，他時時發表個人研究中的一些成果。他在超幾何級數方面的偉大工作（1812)就是屬於這一時期的。這是一項典型高斯式的成果，充滿了分析中的新思想，使他以後的數學家一直為之鑽研。

1820年左右他應漢諾威（Hannover）政府之請主持該王國的大地測量工作，而這一工作的各項雜務（包括大量的野外工作和許多次單調乏味的三角測量）占了他好多年的時間。我們自然要認為像他這樣的人才去做這種工作是浪費，但科學上的偉大思想常是以許多奇特的方式產生出來的。這些表面上枯燥的工作卻使他對純數學做出了他最深刻最有影響的貢獻之一，沒有這一工作，愛因斯坦的一般相對論就不可能有。（一般相對論即狹義相對論）

高斯的大地測量工作是要準確測量地球表面上的大三角形。這促使他產生出《關於曲面面積一般論述》(1827) (“Disquisitiones generals circa snperficies curvas”）中的思想，在這一著作中他奠定了關於一般曲面的內在微分幾何。這里他引入了曲面上的曲線坐標u及v；得出了弧素ds的基本二次微分型ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，使測地線的確定成為可能；提出了高斯曲率和總體曲率（integral curvature）的概念。他的主要成果是著名的穎異定理（theorema egregium),它指出高斯曲率只依賴於E,F及G，因而是在曲面扭變下的不變量；還有在測地線三角形情況下關於總體曲率的高斯-波內（Gauss-Bonnet）定理，它的一般形式是現代大范圍微分幾何里的核心事實。

除了細節上的發現之外，高斯見解的突出之點在於其內在這個詞上，因為他指出怎樣只憑曲面本身進行運算而不必管其所在的周圍空間，就可以研究曲面。為把這事說得更具體些，我們設想有個二維空間的生靈，它居住在一曲面上而從不知道還有第三維或位在曲面以外的任何事物。如果這個生靈能夠在曲面上走動，沿曲面測量距離，確定曲面上從一點到另一點的最短路線（測地線），那末他也能測算任一點處的高斯曲率，搞出關於該曲面的內容豐富的幾何，而當且僅當這曲面的高斯曲率處處等於0時，這種幾何才是歐氏（平面）幾何。如果把這些概念推廣到二維以上，那就向黎曼幾何、張量分析和愛因斯坦的觀點打開了大門。

這時期的另一偉大著作是1831年發表的關於四次剩餘（biquadratic residues)的論文。這里他藉助於一種新方法（純粹從代數觀點來處理複數）推廣了他早年在數論中的一些發現。他把複數定義為有序的實數對，並給它的代數運算作了合適的定義，這樣一來，就把圍繞着複數的議論紛紛的混亂意見平息下去，而為以後n維空間的代數與幾何鋪平了道路。但這只是附帶收獲，他的主要目的是把數論中的思想推廣到複數領域上去。

他把復整數（現稱為高斯整數）定義為複數a+ib，其中a及b為普通整數；他引入質數的一個新概念，按照這個新的質數概念，3仍是質數，但5=(1+2i)(1-2i)就不是；並且他也對這些整數和質數證明了唯一質因子分解定理。這論文中的思想開創了代數數論，這一領域從他那時起至今仍在不斷穩步發展。

從1830以後，高斯越來越多地從事物理研究，而凡是他所接觸到的分支都有他所增添的貢獻。在表面張力論里，他發展了能量守恆的基本概念並解決了變分法中最早涉及具有可變積分限的二重積分的問題。在光學方面，他引入了透鏡組的焦距概念，發明了給望遠鏡和照相機作物鏡用的高斯大角度透鏡（它的色散畸變相對說來較少）。他幾乎一手創立了地磁學，並且在他的朋友和同事W.韋柏（Weber）的合作之下，建造和經管一處無鐵的地磁觀測所，創辦了磁學聯合會，以收集和公布從世界許多地方得來的數據，發明了電磁電報通訊和雙焦測磁計(bifilar magnetometer)。在麥克士韋（James Clerk Maxwell）的名著《電磁學》(“Treatise on Electricity and Magnetism”）中許多地方指出要參考高斯的著作。麥克士韋在序言中說高斯“對磁學及其觀察方法運用了他的強大智慧，他不僅使我們大大增加了對引力理論的知識，並且在所用儀器上。在觀察方法及結果的計算上改造了整個磁學，因而他的地磁學著作，對一切從事於測量任何自然力的人來說，可以說是物理研究的典範。”

1839年高斯發表了關於平方反比例力一般理論的基本論文，作為數學的一個自成一體的分支建立了勢論。他照常要對這些事情熟思多年；在他的發現之中有：近代矢量分析中的散度定理（又叫高斯定理），關於調和函數的基本均值定理，以及那個非常有用而日後稱為“狄利克雷原理”的命題（它在1899年終於為希爾柏脫所證明）。

以上討論了高斯全部成就中已經公開發表的部分，但其未曾公開發表的私人保藏部分幾乎同樣可觀。在他死後人們仔細分析他在筆記本中和科學通信中的大量材料，並將它們收集在他的全集中，這些東西才公之於世。他的科學日記前面已經說過。這本只有19頁的小冊子是數學史上最珍貴的文獻之一，它是直到1898年在高斯一個孫子的家藏信件堆中找出後才為世人所知的。日記包括1796年到1814年這段時期，內含146項關於他研究結果的簡明敘述，而這些都是他花了幾個星期或幾個月的勞動成果。所有這些材料充分證明，高斯這些敘述得相當詳細但只有他自己知道的思想，如果當時發表出來，那末即使他並沒有做出他所發表的其他工作，也會使他成為當代最偉大的數學家。

例如，復變函數論是十九世紀數學的主要成就之一，而這門學科的核心事實是柯西積分定理（1827)以及解析函數的台勞展開式和羅朗展開式（1831,1843)。高斯在他1811年致友人貝塞耳的信中明確提出了柯西定理，然後又說，“這是個很妙的定理，它的證明頗為簡單，我將在適當時機發表。它同別的一些有關級數展開式的有趣事實是分不開的”。

所以在這兩個重要發現被公眾承認的學者做出之前許多年，高斯就已經知道柯西定理，而且或許也知道兩個級數展開式。但不知出於什麼原因，發表的“適當時機”從未出現。我們從他給W.鮑里耶(Wolfgang Bollyai，他從大學時代起的密友，並終生保持通信關係）一封信中的話，可能獲得解釋這一情況的原因。他在信中說：“給予我最大愉快的事不是知識本身而是學習過程，不是所取得的成就而是得出成就的過程。當我把一個問題搞清楚了並研究透澈了，我就放下不管，以便轉而再去探索未知的領域”。

他的脾氣就像一個探險家，如果他在結束一次探險後能立即開始作另一次探險，他就不願化費時間來寫他前一次探險的經過。所以事情就是這樣，高斯雖然寫出很多作品，但要他把每一項基本發現都寫成能使他自己滿意的形式發表出來，那就需要有好幾個長壽者的終生時間。

另一個例子是非歐幾何，它對文明人思想沖擊之大曾與哥白尼在天文學上的革命比美。從歐幾里德時代直到高斯的童年，人們普遍認為歐幾里德的公理是思維的必然規律。然而歐幾里德公理體系中有一個缺點早就受人注意，這就是所謂平行公理，說的是：通過直線外一點，只有一根直線平行於所給直線。有人認為這個公理並非獨立於其他公理之外，許多人想把它作為一個定理來證明而不得成功。

現在我們知道高斯十五歲時也參與這項工作並且也失敗了。但他之失敗不同於前人，因他不久就得出了驚人的結論（這是他前人都沒有想到的）：歐幾里德形式的幾何並非唯一可能的幾何。他多年來時斷時續地按這種思想進行些研究，而到1820他已完全掌握了非歐幾何的主要定理（這個名稱也是他起的）。但他並沒有把他的結果透露給人，而1829及1832年羅巴切夫斯基及J.鮑里耶（W.鮑里耶的兒子）各自獨立地發表了他們在這方面的工作。

在這個問題上，高斯之所以守口如瓶的原因是很簡單的。當時德國知識界完全受康德哲學的支配，而康德體系的基本教條之一則認為歐氏幾何是思考空間問題的唯一可能途徑。

高斯知道這個思想是完全錯誤的，也知道康德體系是建築在沙堆上的。但他珍惜他平靜的私生活，為免於浪費時間去同哲學家鬧口角，他就沉默不語。1829年他在給貝塞耳信中說：“我對於這一問題（幾何基礎）的很廣泛的研究，在很長時期內（也許終我一生）都不會寫成可供發表的形式，因為深恐若把自己在這個問題上的意見完全說出來，就會聽到那些皮奧興人（皮奧興人是古希臘一個部族，以愚蠢無知聞名，受雅典人輕視。）的尖聲狂叫。”

在橢圓函數論方面也有同樣的情形。這是一門內容豐富的分析領域，主要是由阿倍耳在1827年和雅可比在1828-1829年發表的。高斯在這方面什麼也沒有發表，也不聲稱哪些發現是屬於他的，因此當日後數學界慢慢知道，高斯發現阿倍耳和雅可比的許多結果是他早在二人出世之前就有了的，都為此感到驚異不止。

阿倍耳幸而在1829年二十六歲時就早死了，免於得悉這一可能使他喪氣的事；但雅可比卻不得不咽下他的失望情緒繼續幹下去。事實真相部分是通過雅可比本人透露出來的。

他注意到《論叢》（第335款）中有一段難懂的文字，它的意義只有知道點橢圓函數的人才能理解。他為此去找過幾次高斯以便證實他所猜度的事，同時把自己最新的發現告訴高斯。每次去高斯都從他的抽屜里拿出30年之久的手稿，把雅可比所告訴的新發現指給他看。

我們不難想象雅可比是多麼失望喪氣。但高斯此時對於個人聲譽已經談泊，實際上反而因為可以免去寫文章論述他早已計劃要發表的題材而感到高興。

1840年雅可比在高斯那裡做客一星期後寫信給他的兄弟說：“如果實際天文工作沒有把這位巨大天才的精力，從他那光輝的事業中分散出去，數學的情況，將與今日大不相同。”

這就是高斯，至高無上的數學家。他在那麼多方面的成就超過一個普通天才人物所能達到的水平，以至於我們有時會產生一種離奇的感覺，以為他竟是上界的天人。