《常數》

1，從阿蒂亞和黎曼猜想說起

數學中有一個著名的黎曼猜想， 2018 年 9 月，89 歲的阿蒂亞宣稱他證明了黎曼猜想。第二年的1月份，阿蒂亞就逝世了。據說阿蒂亞在他45 分鐘的演講中，前30分鐘都在介紹歷史，最後的證明只有一頁 PPT就完成了。他的整篇論文也就5頁紙，大多數數學家認為，這樣的“證明”無法讓人信服，因此，黎曼猜想至今仍未被解決！

然而，阿蒂亞是通過理解量子力學中的“精細結構常數”而得到啟發試圖解決黎曼猜想的。無論他的證明正確與否，都令我們思考物理常數和數學常數，思考精細結構常數的意義。

物理學家們早就被這個常數迷惑住了。這是個什麼玩意兒呢？

精細結構常數的起源伴隨着量子力學的誕生， 繼普朗克的黑體輻射研究及愛因斯坦解釋光電效應之後，玻爾提出了原子的玻爾模型來解釋“類氫原子” 的光譜。這是一個半量子半經典的模型，對一般的原子光譜應用有限，1916 年，索末菲對波爾模型解釋的光譜中的某些精細結構作出新描述的過程中，引進了這個“精細結構常數”。

首先，精細結構常數的表達式：

索末菲當年的目的只是用它來簡化數學表達式，但之後發現這是個 “無量綱” 的純數字後，這個常數魅力越來越大，由它產生的懸念也越來越多。這個常數的倒數是137，與137有啥關係嗎？令人百思而不得其解。

作為一個物理常數，第一個懸念顯然是：精細結構常數的物理意義是什麼？可以總結為如下4點。

1，對當時的波爾模型而言，可以看成是氫原子中的基態電子運動速度與光速的比值。然而隨着量子力學的發展，薛定諤方程建立起來，人們開始用電子云和幾率描述核外電子，經典理論中電子的軌道和速度的概念失去了意義。

2，α在原子發光的細節過程中起着重要作用：核外電子運動時產生磁場，磁場與別的電子相互作用，使原子能級發生“精細”變化，即光譜“劈裂”：原來的一條線劈裂成相距很近的兩條。產生光譜“精細結構”。 “精細結構” 能級差與普通光譜能級差之比為α的平方，這也是這個常數名字中“精細”一詞的來源。

3， α是電磁相互作用的 “耦合常數” (coupling constant)， 描述了電磁相互作用的強度。

4，α是基本電荷e、 普朗克常數h及光速c的歸併，幾個常數分別代表電磁作用、 量子論及相對論。

著名物理學家中， 對精細結構常數最着迷的有泡利和費曼。泡利認為當時物理學上的一些棘手問題有可能隨着精細結構常數的確定而得到解決；泡利在諾貝爾演講中提出應將確定精細結構常數視為量子場論的目標；泡利去世前病重時，問前往醫院探望的助手，是否注意到病房號碼是137！。費曼曾經說： “理論物理學家常將這個數貼在牆上對着冥思苦想。它是物理學中最大的、 該死的謎團之一： 一個出現在我們面前的無法理解的魔數。”

以上4條物理意義不知哪一條是更本質的？但第4條最有魅力，似乎是說明這個常數與物理學中3個重要理論都有關。物理常數一般都有量綱，雖然α是由e、h、c組成，但最終歸併的結果卻是一個無量綱的“純粹”的數。好像歸併後，這個數的物理意義突然消失了似的，頗像一個數學常數。它到底是物理常數還是數學常數呢？令人困惑。

2，物理常數和數學常數

一幫認為，物理常數與數學常數不同，主要是在於大多數物理常數與測量有關，因此也有量綱。而數學常數可以從純粹的數學概念推導出來。然而如果我們溯源這些常數被發現的歷史，就會發現，一個數是物理常數還是數學常數，是會隨着我們對它的認識深度而改變的。

舉圓周率π為例，π是圓周長和其直徑的比值。圓有大有小，但其周長與直徑的比值卻保持不變。可以說，人們最初對π的認識也是與“測量”有關的，測量周長測量直徑，計算它們的比值，發現大圓小圓比值相同等等。然後幾何發展了，利用幾何方法計算π代替了測量。更多的數學研究證明了它是一個無理數，一個無限不循環小數，一個超越數。所以，現在我們當然認為，圓周率π是一個數學常數不是物理常數，因為依賴物理測量，是判定不了無理數和超越數的。

我們再來理解一下自然常數e。歷史而言，e從一開始就是在數學上被認識的。然而，e實際上與大自然的許多現象緊密相關，即使沒有從數學上被導出，也有可能在科學活動中被發現。

自然界中很多增長或衰減過程（包括生物體）都可以用指數函數模擬，即e與增長（衰減）速度有關！的確是非常“自然”的一個常數！

例如，我們觀察自然界中植物的生長過程，比如一棵竹子。某一天這棵竹子1米高，1天之後變成了1.1米，於是有人說：1天長0.1米，2天0.2米，10天之後就多出1米，變成2米高。

但仔細想想上面的說法，不對啊！自然界生物的生長過程不是那樣的，1米的竹子第1天長0.1米，第2天1.1米的竹子應該增加得比0.1米更多才對，因為原來的老竹子繼續長0.1米，但昨天長出的0.1米的新竹子也會按同樣的比例增長，無論老竹子新竹子，細胞都一樣地分裂。將這個考慮加上去，兩天后的竹子可以如下計算： (1+0.1)²  = 1.21，高度應該是1.21米。依次類推，10天之後的竹子高度（米）是  (1+0.1)¹⁰  = 2.59374246。這個數值比上面算出的2米多出了0.59374246米，這是容易理解的，因為考慮了每天長出的新竹子、再生新竹子、再生再生新竹子……的能力在內。聽起來有點像借高利貸時候的“利滾利”。

再進一步分析這個問題，感覺越來越複雜，也越來越有趣了！上一段說法是基於竹子每天的增長率0.1而言。但為什麼要以“天”作為竹子生長的基本時間單元呢？事實上，竹子是每時每刻都在生長的。比如說，也可以用“小時”來作為時間單元。那麼，每小時的增長率是1/240，同樣考慮10天之後以米為單位的竹子高度：

h₂₄₀ = (1+1/240)²⁴⁰  = 2.71264。

現在我們看看e的數值是多少呢？從維基百科查到e = 2.71828……，與我們剛才用小時作為時間單元計算的數值h₂₄₀ = 2.71264挺接近的。這點是不難理解的，因為定義e的數學公式之一就是：

                                            （3.1）

而h₂₄₀是n = 240時的數值。

分析到這兒，讀者已經不難看出自然常數e的“自然性”了。我們可以將上面“竹子生長”問題的時間單元再小下去，小到分、秒等等，細分也就等效於將n增大，計算結果會越來越接近自然常數e。

因此，自然常數e的確是存在於自然界、宇宙中的描述自然規律的一個具有重要意義的常數。除了植物生長外，動物繁殖也有類似規律。非生物界的許多變化，也涉及到e，例如物理學中的放射性衰變等。

總的來說，e涉及的是連續和變化。正因為自然常數e來自於自然，大自然生物界以及宇宙星辰中的許多圖案，都與e有關，例如常見的對數螺旋線等等。但數學上定義的e，是n趨於無限時的極限，或者說，在竹子生長的例子中，所取的時間單元要趨於0。

前面說過，自然常數e最早是從數學上定義的，並且也證明了它是無理數，也是超越數。所以當然地被歸於數學常數。下面給出一個簡單的證明，證明e是一個無理數：

但從π和e的發現史來看，許多數學常數 “本質”上可能都是物理常數，儘管數學本身有其獨立發展的邏輯性，但數學和物理一樣，畢竟都是來源於這個世界描述同一個宇宙的。除了π和e之外，還有在混沌理論中發現的描述混沌形成過程的、被歸於數學常數的兩個費根堡常數，也可以作為例子。混沌現象本來就是一個常見的科學現象。這兒我們就不再贅述了。

3，回到精細結構常數

有位科學家說過：“上帝是個純粹數學家！”，科學研究的事實越來越證實：我們的宇宙的確是圍繞着優美的數學物理理論而構建的。科學的真諦就是探索奧秘，在這些自然之奧秘中，“常數”扮演着不平常的角色。物理常數一般具有單位（量綱），例如萬有引力常數G、光速c、普朗克常數h等等。然而，精細結構常數卻沒有單位，是一個純粹的數，這是使物理學家們迷惑的原因之一。

按照阿蒂亞的意思，α可能是個數學常數。它的性質也許跟 π 那樣的數學常數差不多。說到π，定義是圓周率，是一個不變的數學常數。但是，只有在歐氏空間，圓周率才是常數，黎曼幾何中就是變動的。

但數學常數能從數學上推導或理解， 精細結構常數卻是一個物理常數， 它能否像數學常數那樣從純理論的角度進行推導和理解？

有人認為：精細結構常數137.03599913 是一個會“跑動”的數，描述兩個電子相互吸引力大小，它的耦合常數隨着時間的變化而變化，並不是一個“真的常數”。

但像1/137.03599913這樣的數字到底是從哪裡來的呢？它是碰巧取了這個值呢，還是來自宇宙更深層的理論？仍然是一個謎。

物理學家多次嘗試從物理學理論導出α，或編造出一個含有α的數學公式，然而都沒有成功。阿蒂亞認為，精細結構常數應該像圓周率一樣，具有同樣的數學上的意義。瑞士一位年輕數學家阿爾芒·維勒（Armand Wyler）在1969年，發現(9/16π3)(π/5!)¼的結果約為1/137.036，但這個公式背後沒有任何理論支撐，只能作為一種遊戲或巧合。

4，更多著名的物理（科學）常數

物理學描述宇宙萬物，物理常數（或廣義而言為科學常數）應該是宇宙萬物的基礎，宇宙之謎。對應於人類對萬物知識的結晶-科學而言，這些常數代表了科學的各個領域。例如，萬有引力常數G代表引力理論；光速c代表涉及高速運動的狹義相對論；普朗克常數h代表描述微觀世界的量子力學；阿伏伽德羅常數NA代表解開分子運動之謎的化學；玻爾茲曼常數kB代表統計、熵增加的熱力學；描述恆星演化的物理理論中，有一個錢德拉塞卡極限（大約是1.44倍太陽質量），代表廣義相對論預言的引力塌縮過程。

宇宙學中也有幾個常數，值得更為深入的理論研究探索，等待更多更精確的實驗觀測數據。雖然在學界對宇宙學（大爆炸理論）基本上已經有一定的共識，但畢竟是新發展的學科，實驗驗證的方法也有限。這兩個常數：一是代表宇宙膨脹及宇宙年齡的哈勃常數H0，二是愛因斯坦自己最早引入在引力場方程中的“宇宙常數”Λ。

哈勃常數起源於哈勃對若干河外星系的觀測。 上世紀20年代，在洛杉磯威爾遜山天文台工作的哈勃，藉助望遠鏡以及觀測光譜紅移，得到宇宙正在不斷膨脹的結論。表徵星系與地球之間的距離D，與其飛離地球的速度v間的關係（哈勃定律）的比例係數，就是哈勃常數H0。

哈勃定律：  v（速度） = H0D（距離）  

從哈勃定律，科學家們建立了宇宙演化的大爆炸模型，哈勃定律經常被援引作為支持大爆炸理論的一個重要證據。宇宙演化的初始時刻是廣義相對論理論中的一個奇點。在那“奇點”時刻，宇宙中的所有物質，不管是恆星還是星系，都被緊密地壓縮在一個點中。並且由此理論可以確定宇宙的年齡，即奇點發生的確切時間，是大約137億年前。

哈勃定律的確描述了一幅宇宙不斷擴展膨脹的圖景，其中的H0當時被認為是一個常數，後來被認為隨時間而變化，叫做哈勃參數。到底是否常數？還需時間驗證。根據2013年3月21日普朗克衛星觀測獲得的數據，哈伯常數大約為67.80±0.77 千米每秒每Mpc。

另一個“宇宙常數”（或稱宇宙學常數）Λ，是愛因斯坦在1917年的一篇廣義相對論文章中引入的。

愛因斯坦建立了引力場方程後，物理學家和天文學家蜂擁而上，使用各種數學方法研究方程的解，將其與牛頓經典理論比較，用以解釋各種天文觀測現象。當時的宇宙學還只是一個初生的嬰兒，物理和天文學界基本上公認宇宙的靜態模型。所謂“靜態模型”，並非認為宇宙中萬物靜止不動，而只是就宇宙空間的大範圍而言，認為宇宙是處處均勻各向同性的，每一點處朝各個方向看去都會有無窮多顆恆星，恆星之間的平均距離不會隨着時間的流逝而擴大或縮小。但是，根據廣義相對論的運算結果，宇宙並不符合上述的靜態模型，而是動態的，有可能會擴張或收縮。愛因斯坦為了使宇宙保持靜態，在引力場方程式中加上了公式中包括宇宙常數Λ的一項。

不過，愛因斯坦的想法很快就被天文學的觀測事實推翻了。

 首先，物理學家證明了，即使愛因斯坦的宇宙常數提供了一個能暫時處於靜態的宇宙模型，這個靜態模型也是不穩定的。在1922年，前蘇聯宇宙學家亞歷山大·弗里德曼根據廣義相對論從理論上推導出描述均勻且各向同性空間的弗里德曼方程，在這組方程中，不需要什麼宇宙常數，得到的解卻不會因為互相吸引而塌縮，而是給出了一個不斷膨脹的宇宙模型。弗里德曼第一個從數學上預言了宇宙的膨脹之後，一位比利時的天主教神父，也是宇宙學家的喬治·勒梅特獨立得到與弗里德曼同樣的膨脹宇宙的結論。1929年，哈勃宣布的觀測結果證實了這兩位科學家對“宇宙膨脹”的理論預言，並由此而否定了引力場方程中宇宙常數一項的必要性。哈勃的觀測事實，令愛因斯坦懊惱遺憾不已，認為這是他犯的最大錯誤，要撤回宇宙常數。

這個常數後來又被物理學家們請回來，根據天文觀測的實際數據來調整它的正負號，決定對它的取捨。比如，在1998年以前，人們認為宇宙是在減速膨脹，不需要宇宙常數這一項，便將它的值設為0。但大家又總是心存疑問，所以，那時候的“宇宙常數問題”是為什麼宇宙常數是零？1998年的觀測事實證明了宇宙是在加速膨脹，這下好了，宇宙常數不應該是零了！物理學家們將它設為非零，用以解釋宇宙為什麼加速膨脹。但是，問題又來了：這個宇宙常數到底是個什麼東西？它為什麼不是零？

也有學着們將宇宙常數解釋為真空能量，但怎樣計算真空能量密度卻是物理學中尚未解決的一個大問題。如果把真空能量當作是所有已知量子場貢獻的零點能的總和的話，這樣得出來的結果比天文觀測得到的宇宙常數值大了120個數量級！

後來，宇宙常數又變成了“暗能量”的同義詞，但我們對暗能量知之甚少，使得當下的宇宙常數疑難也就成為暗能量疑難。因此，宇宙常數仍然是一個未解之謎。

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