一個數學家必須要具有詩人的氣質。
　　　　　　　　　　　　　　　　-- H. Wyle
　　　　　　　　　
作為人類關於數量和空間的經驗的總結，數學被看作一門科學。然而粗糙的定義是不能
完全涵蓋數學豐富多彩的內容，特別是現代數學的抽象，以及現代數學家對形式美的愛
好和追求。這些都與古代數學有極大的區別。與其把數學看作科學還不如看作藝術。

數學知識的積累更像藝術作品的積聚，而非科學知識的替換。科學知識只是對現實世界
的或精巧或拙劣的模擬，時常是精巧的會代替掉拙劣的。A.L.L.Lawaxi的氧氣燃燒學說
出來之後，燃素說便無地自容了。廣義相對論也使Newton力學相形見拙。然而藝術品卻
是不斷的積聚的。並不因為有了Stravinsky的《春之祭》就無人傾聽Mozart,
Vincent van Gogh和Leonardo da Vinci畫風不同，卻同樣受人喜愛。數學也是這樣
，每個時代的數學家都是在為數學大廈添磚加瓦。十九世紀的大師的著作現在看來依然
毫不遜色。A.Weil便是從《Gauss全集》中受啟發,做出Weil猜想的。[8]Anorld居然能從
Newton的《自然科學的數學原理》中汲取營養。每個數學定理只是它本身，而非其他，
它自身就是一個宇宙。我們完全能像欣賞一首詩、一幅畫、一部樂曲那樣欣賞它。C.G.J
.Jacobi曾寫道："Fourier先生認為，數學的主要目的是服務人類，解釋自然現象，但像
他這樣的哲學家應當知道，科學的唯一目的是為了人類心智的榮耀，因此，一個關於數
的問題與一個關於宇宙體系的問題具有同樣的意義。"[1]G.H.Hardy把數學和詩歌相比，
突出說明數學的形式美。按Hardy的說法，詩歌的內容不重要，關鍵是遣詞造句，以及由
此而構建的意境。[2]這種看法與D.Hilbert的形式主義是相通的：數學是一堆沒有意義
的符號，數學家只是在一定的遊戲規則下作符號遊戲。葉蔥奇在《李賀詩集註疏》序言
中寫道："古詩歌的組成全在詞彙的穠縟，音調的鏗鏹，用典的精妙，用字的輕重、濃淡
，從這上面生出的幽深、超逸的風致，構成的美妙、雋永的意味。"[11]其實所有高級的
藝術形式都是這種形式化的傾向。京劇不是嗎？C.Maxwell也曾說J.B.J.Fourier的《熱
的解析理論》是一首數學的詩。[3]邱成桐曾把數學比作繪畫，有廣告畫和印象畫之分，
似與應用數學和純數學相對。"我想做幾何也跟畫畫差不多，不過我們畫的圖更廣泛一點
，物理要畫的圖畫基本上只是一張圖畫，就是自然界的現象。我們可以亂畫，我們可以
畫廣告畫，也可以畫印象畫。"[4]還說可以亂畫，就更把數學的藝術性表現的淋漓盡致
，試問一個分子生物學家敢不敢亂畫人體DNA結構圖。

數學的美在於它的抽象、簡潔、對稱、優雅，以及出乎意料的完美。這正是Mozart音樂
的特點，當然也像是莊嚴而空靈的星空。當你欣賞一個定理或一套理論時，會發現它的
每一步推理都象是人為的，局部地似乎看不出它們存在的理由，然而所有推理奇妙的組
合在一起，便指向一個偉大的結論，那樣鮮明生動，像蜿蜒的山路，石縫的清泉。數學
家為何普遍喜歡Atiya-Singer定理（光滑流形的橢圓型微分算子指標和拓撲指標相等）
這樣的工作正是因為它的出乎意料性，因為它揭示了兩個相距很遠的數學分支之間的聯
系。

數學的魅力更在於它的永恆性。"和其他思想家的追求相比，數學家所追求的是更加理想
，並且也許是在藝術上更加令人滿意的形式。時代可以變更，語言可以發展和消亡，畫
家的畫布可以腐成碎片，雕像的材料可以溶濁分解為灰塵，然而這種形式卻保持不變。
它的確是永遠使人快樂的美麗事物。"[5]數學定理一旦被找到，它就會永遠存在，而且
還會無數次地被人重新發現、欣賞、吸收。

G.H.Hardy說,數學家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，區別僅在於畫家造型用形和色，
詩人用語言，而數學家這是用概念來造型。[2]他們都在從事一種創造。感覺、直覺在數
學創造中的作用和在其他藝術創造中的作用一樣，都是它們的源泉。一個記憶力、注意
力很強的人可以成為一個好的數學學習者、應用者、教授者，但不一定能成為創造者，
假如他沒有一種數學直覺。正如繪畫需要許多技巧技術，但所有的技術都不足以使人成
為繪畫大師。在藝術的天堂里重要的是感覺。H.Poincare用形象的比喻來說明數學的創
造過程，各種數學概念在潛意識裡碰撞組合,數學直覺從中篩選出有意義的組合,進而進
行創造。他強調頓悟。先是緊張的工作，然後完全放鬆，把任務留給潛意識，隨後頓悟
發生。潛意識做出選擇時，所用的標準便是"數學的美感，數和形的和諧感，幾何學的雅
致感"，"這種和諧同時是我們審美需要的滿足，以及支持指導我們思想的助手"，"有用
的組合恰恰是最完美的組合，我意指最能使這種特殊情感着迷的組合"。

[6]了解Mozart的人可以把他的音樂創作與Poincare　所說的相印證。Mozart的創作完全
是憑一種音樂直覺,他可以一邊和人談話一邊寫曲譜。李白也正是在醉酒狀態，即意識活
動放鬆潛意識活動興奮時，寫出他的詩歌。

理解數學時用的也是一種感覺。數學證明並非邏輯三短論的簡單疊合。在一個證明中有
一種一般的原則。"它是按某種次序安置演繹推理，這些元素安置的順序比元素本身更重
要。如果我是有這種次序的感覺，也可以說這種次序的直覺。以便一眼就覺察到作為一
個整體的推理，那麼我無需害怕我忘記這些元素之一，因為他們之中的每一個都在排列
中得到它的指定的位置，而且不要我本人費心思記憶。"[6]這或許是對數學感覺的最生
動形象的描述。簡而言之數學感覺便是一種整體次序感、和諧感。

數學和藝術一樣可分為各種流派，存在各種風格。各個流派感興趣的東西不同，思考問
題的方法也不同，論文著作的行文風格也不同。Poincare 曾說，數學家可以分為兩類：
幾何型、分析型。分析型的數學家思維精細而嚴密注重推理，比如A.Cauchy 、K.T.W.We
ierstrass ；幾何型的數學家想象力豐富，注重直覺，喜歡迅速把握問題的實質，比如
G.F.B.Riemann 、F.Klein 。[7]且不提第三次數學危機時的三大數學基礎學派,比較一
下德國抽象代數學派,中國數論學派和美國低維拓撲學派的著作，便很清楚藝術風格的存
在。

以E.Neother 為中心的抽象代數學派，永遠是那種優雅閒適，甚至有點浮華輕靡的氣氛
。不論是E.Neother 的女性身份，Van der Waerden 的名著和他的鋼琴愛好，還有E.Art
in近乎完美的講課風格。然而華羅庚的高貴莊重中有明顯的劍橋分析學派的影子，陳景
潤的樸實無華是典型的中國風格，翻開二人的著作均是積分號與近似估計，讓人頓生冷
峻之想。美國低維拓撲學派的書幾乎全是扭結、曲面、環鏈的天地，讓人眼花繚亂。美
國人務實、具體、效率的精神也表露無遺。

當今的數學主流,據說還是D.Hilbert 的形式主義和Bourbaki 風格。兩者都是以公理化
思想稱著於世。Bourbaki學派曾以《數學原理》巨著為手段，懷抱統一數學的雄心，但
現代數學的紛繁複雜也令其於1985年封筆至今,但他們那種整齊、抽象,"定義－定理－證
明"的格式卻幾乎成了現代著作的標準。

各門藝術中都有它的大師和怪傑。歷史上也湧現了許多風格獨特的數學家。C.F.Gauss為
人孤僻，追求完美，他的作品可謂美侖美奐。結果不成熟，他是不會發表的。而且他可
以對一個定理一證再證，精益求精，有名的代數基本定理便是如此。

G.F.B.Riemann是一個極富創造力的數學家,他的全集很薄,但幾乎每篇論文都開創一個數
學方向, Riemann猜想、Riemann積分、Riemann幾何、Riemann面。他的作品寫得很簡略
，結論多於證明，留下的工作足以讓後來的數學家工作幾百年。

印度怪才S.A.Ramanujan 在艱難的環境下自學，他的幾乎所有知識都來自他唯一的本書
。他寄給G.H.Hardy 的筆記本中包含幾百條未加證明的數學式子，包括定積分、無窮級
數、連分數。G.H.Hardy 當時的驚奇也許是每個見到那個筆記本的人都會感到的。"單單
看一眼，就足以說明這些公式只能出自最高級的數學家之手，它們一定是對的，因為否
則的話，沒人能具有這樣的想象力去發明它們 。"[2]

P.Erdos 是世界上最多產，與人合作最多的數學家，留下了1500 篇論文,而且幾乎每篇
都包含一個有意義的結果,甚至有里程碑似的結果。他的生活方式更是令人驚嘆，孑然一
生，週遊世界，瘋狂的討論數學 。[8]

Bourbaki 學派第二代精神領袖 Grothendieck激進的政治觀點並不影響他的數學的宏偉
與崇高。他製造了一個統一的概形理論來處理代數幾何，將代數幾何完全抽象化。有人
說他是:不論告訴他什麼，他都翻譯成自己那套語言。典型的法國人。後來他發現政府仍
在干預數學，於是憤而隱退，回家種葡萄。[9]

這種例子還有很多，數學便是這樣在發展中帶上了各種數學家的個性、人格特色，使其
更如同藝術作品，使我們可以沉迷其間，涵泳其間，盡情欣賞。

科學追求的是對大自然的理解，是對真理的發現，而數學更多的是對美的追求。K.Godel
的不完全性定理指出了數學的缺陷,也阻絕了以數學為絕對真理的想法。數學家們一反十
八世紀以前為科學服務的態度，全身心投入數學美的構建。擺脫了為客觀世界所束縛的
數學，從人類的自由心靈中汲取力量，湧現出無數在客觀世界中無法存在，只能存在於
人類頭腦里的抽象概念，比如：高維空間、流形、抽象群、由選擇公理導出的分球悖論
。數學家從而獲得了自由，甚至宣稱，在數學中你想幹什麼都行。於是有了Poincare 所
言各種概念相互碰撞而創新。

不可否認在數學中有一套客觀標準來衡量一項工作的重要性。比如說：它是否解決了歷
史上遺留下來的問題；它對整個理論的完美性有何貢獻；它是否揭示了幾個表面上相距
很遠的數學分支之間的聯繫；它是否創造了新的方法，該方法是否有普遍性；它是否體
現了和諧與美。然而每個人都可以去喜歡去做他所感興趣的那部分數學.這裡遠離政治、
種族、戰爭,甚至煩惱,有的只是專注、安詳、寧靜，領悟後的歡樂，創造時的興奮。F.
Riesz說："我不高興時搞數學，使自己高興。我高興時搞數學，使自己更高興。"或許數
學最適合小平邦彥這種悲觀厭世之人。"早八時起床，九點四十分是Segel的關於三體問
題的課,十一點十五分至十二點是Weyl的討論班，一點二十分到兩點二十分在小平的討論
班講自己的論文，回家繼續寫論文，五點三十分街上餐館晚餐，回家工作到深夜。"[10]
數學是一座為其擋風避雨的象牙塔，也是其所有的精神寄託。

[1] Jean Dieudonne 沈永歡　譯　　當代數學：為了人類心智的榮耀　　上海教育出
版社　1999
[2] G.H.Hardy　李文林　譯　　一個數學家的辯白　江蘇教育出版社 1996
[3] J.B.J.Fourier 桂質亮　譯　 熱的解析理論　　武漢出版社　　1994
[4]　邱成桐　　幾何學的未來發展　　數學譯林　　第十六卷第十期
[5] J.N.Kapur　王慶人　譯 數學家談數學的本質 　"本 大學出版社 1989
[6] H.Poincare 李醒明 譯 數學創造
[7] H.Poincare 李醒明 譯　　數學中的直覺和邏輯
[8] 李心燦 當代數學大師　航空工業出版社　　1994
[9] 胡作玄　趙斌　菲爾茲獲獎得者　湖南科學技術出版社　1984