質數似乎分布得毫無規律。多少超級聰明的數學家嘔心瀝血一生研究質數，卻毫無建樹。

但是，一個數學家一旦在質數研究方面有所建樹，他也會因而名聲大噪。1737年，Euler發表了他著名的乘積公式：

1/(1 - 2^(-s))*(1-3^(-s))*(1-5^(-s))*(1-7^(-s))*(1-11^(-s))*(1-13^(-s))(1-17^(-s))...=1+2^(-s)+3^(-s)+4^(-s)+5^(-s)+...

公式的左邊涉及所有質數，而右邊涉及所有正整數。

我們可以用一個簡單的方法驗證一下。設右邊為Z(s)，那麼(2^(-s))*Z(s)=2^(-s)+4^(-s)+6^(-s)+8^(-s)+10^(-s)+...。因此，Z(s)-(2^(-s))*Z(s)就把Z(s)里所有2的倍數的項都銷掉了。所以

(1-2^(-s))*Z(s)=1+3^(-s)+5^(-s)+7^(-s)+9^(-s)+...

現在我們重複這個做法。將此式兩邊乘3^(-s)，再將結果從此式兩邊減掉，(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)就不包含任何3的倍數項了：

(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)=1+5^(-s)+7^(-s)+11^(-s)+13^(-s)+...

如果我們重複這個做法，將此式兩邊乘以每個質數的(-s)次方，再將結果從此式兩邊減掉，結果就不包含任何該質數的倍數項了。我們發現

...(1-11^(-s))*(1-7^(-s))*(1-5^(-s))*(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)趨向於1!

取s=2, 這個式子就變成了

[2/(2*2-1)]*[3/(3*3-1)]*[5/(5*5-1)]*[7/(7*7-1)]*[11/(11*11-1)]...=1+(1/2*2)+(1/3*3)+(1/4*4)+(1/5*5)+...=Pi*Pi/6

一下子，“雜亂無章”的質數乘出了個與圓周率有關的結果。

質數還“雜亂無章”嗎？顯然不是。（待續）