Speed of Rope Expansion: Vr

Speed of Ant：Va

From A to Where Ant is C: l(t)

AB length: f(t)

f(t)=D+Vrt;

l(t)=Vat+lVrt/f=Vat+lVrt/(D+Vrt);

l-lVrt/(D+Vrt)=Vat;

l(1-Vrt/(D+Vrt))=Vat; 

l=Vat/(1-Vrt/(D+Vrt))=Vat(D+Vrt)/(D+Vrt-Vrt)=Vat(D+Vrt)/D；

ｌ(t)=Vrt+VrVatt/D;

l(t)’=Va+2VrVat/D; （注釋: 求導並得：螞蟻身後爬過距離的增長速度）

f(t)’=Vr; (同上，得：繩子的膨脹速度）；

l(t)’>f(t)’;  （注釋：只要繩子的膨脹速度小於螞蟻身後爬過的距離的增長速度，這樣螞蟻就能爬到B）；

即：Va+2sVaVrt/D>Vr;

Or:　Ｖa(1+2Ｖrt/D)>Ｖr;

１。螞蟻爬到Ｂ點的速度是時間的函數：Va>Vr/(1+2Vrt/D); 

２。因為２Ｖｒｔ／Ｄ大於零，所以只要螞蟻速度大於繩子膨脹速度，螞蟻肯定可以爬到Ｂ；

３。在Ｄ是有限值的前提下，當t趨於無窮，螞蟻的速度Ｖａ-->0，也即：只要螞蟻的速度大於零，在足夠長（無窮）的時間裡，總能爬到Ｂ。也就是說，螞蟻爬到Ｂ沒有最小速度限制。