五分鐘用初中數學搞定狹義相對論

前兩天我準備寫篇科普文章給小朋 友講講相對論，但發現光速不變的假設不好理解，而且現有的相對論方程的推導都太複雜了（比如愛因斯坦的推導），要用到光傳播的一系列假想實驗。我想，這麼 優美的學說肯定有簡單的解釋。於是開始試着獨立推導，結果發現根本不需要用到光速不變原理，相反，光速不變是一個結論。

首先，讓我解釋一下相對論研究的是什麼問題。假設一個人坐在以速度v直線運行的火車（B)上，另一個人坐在火車的起點站（A)，兩個人的手錶開始是對好時 間的，現在假設坐在車站的人觀測到在時間t_A,離車站距離x_B的鐵路線前方發生一起事故。那麼，坐在火車上的人觀測到的事故時間(t_b)、地點 (x_B)（相對於火車）是什麼呢？這是一個小學生都會回答的問題。答案是：時間相同， t_B=t_A;而位置 x_B = x_A - vt_A （因為火車跑了vt_A距離）。這就是所謂伽利略坐標變換。相對論研究的就是這個坐標變換的問題，愛因斯坦根據光速不變假設，推斷出運動的時鐘會變慢等相 對論效應，引起了一場科學的革命。

讓我們假設在一般情況下，坐標的變換是 （下面的* 是乘號, sqrt 是平方根）
x_B = r * (x_A – v * t_A )

r是一個不隨時間、地點變換的因子，顯然如果r=1,上面的變換就回到伽利略變換了。如果我們換個角度看（車不動，地在退),鐵路線相當於車的速度是 -v 。所以從車上觀測到的坐標到地面坐標的變換公式應該是：

x_A = r * (x_B + v * t_B )

從以上兩個一次方程，我們得出

t_B = r * t_A + x_A * (1 – r*r) /(r*v)

如果時間與空間的地位是對稱的，那麼時間的變換方程應該是 （就是把上面 x_B 方程中的 x,t換位）：

t_B = r * (t_A – v * x_A )

因此， 我們有
- r * v = (1-r*r)/ (r*v)

由上可以解出：
r = 1 /sqrt (1- v * v)

由上可見，速度v不能超過1，否則坐標就出現虛數了。所以單位速度也是最高速度。而且很容易驗證，如果一個物體在一個參照系裡的運動速度是1，在任何其他 參照系裡，其速度也是1。這個單位速度是什麼呢？就是光速。

更詳細的分析，在這個鏈接。