從上一節我們學到了，計算信息科學中的一個量子比特，可以對應於量子物理中一個粒子的疊加態。使用狄拉克的符號，單粒子疊加態（或量子比特）可以表示為：

|量子比特> = a|0> + b|1>，                （14.1）

這裡的a、b，是滿足（|a|²+|b|² = 1）的任意複數，它們對應於兩個定態在疊加態中所占的比例係數。當a=0，或者b=0時，疊加態就簡化成兩個定態|0>和|1>。兩個比例係數的平方：|a|²或|b|²，分別代表測量時，測得粒子的狀態是每個定態的幾率。

既然qubit是量子計算中的最基本的單元，我們對它稍微研究得更詳細一點。下面圖中是比特和量子比特的幾何表示。圖中綠矢和藍矢，分別表示經典計算中所用的0和1兩種狀態。右邊量子比特示意圖中的紅矢，表示量子世界中一個一般的疊加態，這些所有疊加態的端點，組成一個半徑為1的單位球面，稱之為Bloch球面。經典比特中的0和1也被包含在這個球面中。

表達式（14.1）中的比例係數a和b為複數，每個複數分別有一個實部，一個虛部，可以寫成：

a = a_real + a_imagi ，                （14.2）

b = b_real + b_imagi ，                 （14.3）

這兒的i = sqrt(-1)，-1的平方根。

從（14.2）和（14.3）初看起來，以為一個量子比特具有4個任意常數（a_real、a_imag、b_real、b_imag），也就是說，有4個自由度。但實際上，一個量子比特只有2個自由度。其原因是因為在這4個任意常數之間，規定了如下2個約束：一是a、b需要滿足幾率歸一化的條件：（|a|²+|b|² = 1）。二是兩個複數a、b中，只有它們相對的相位差才有物理意義，量子疊加態的絕對相位是不可觀測的，沒有物理意義。因此，我們就乾脆將a簡化表示成一個實數，即cos（q/2）的形式，而a、b之間的相位差記為 f 。這樣一來，兩個自由度以兩個實數角度q和f表示，（14.2）和（14.3）可寫成：

a  = cos（q/2），                   （14.4）

b = exp（i f）sin（q/2），          （14.5）

因此，一個qubit用疊加態來表示：

|量子比特> = |y> = a|1> + b|0>，

上式中的a、b由（14.4）和（14.5）所決定。不難看出，將量子比特態|y>在三維極坐標中表示出來，就是上面圖中Bloch球面上的一個點。

綜上所述，一個qubit有無窮多個狀態，遍布整個球面。每個狀態對應於Bloch單位球面上的一個點。在量子比特上進行一個運算，把qubit從一個狀態變成另一個狀態，或者說，將球面上的一個點變成另一個點。這種對應於布洛赫球面旋轉的變換是一種幺正變換（Unitary Transformation）。所以，對qubit作一系列運算就相當於進行一連串的幺正變換。

從布洛赫球的圖中還可以看到，經典計算機中的bit兩個狀態：|1> 和 |0>，也已經被包含在布洛赫球面中，分別對應於球面上南極和北極兩個點。所以，我們可以說，經典比特是量子比特的特例。或者說，量子計算機是經典計算機的推廣。

這個推廣非同一般，從經典計算機推廣到量子計算機，使得計算能力成指數倍地增長。

使用量子比特，與使用經典比特的另一個不同之處，是當我們有多於一個qubit連在一起時，能將它們互相關聯起來，構成糾纏態。也就是說，經典計算機中，許多bit靠在一起組成寄存器時，每個bit獨立坐在自己的座位上，互相不關聯。而量子計算機里的qubit不但緊緊靠在一起，還手挽着手，顯得分外親熱。當然，這些qubits是以何種方式，如何牽手的？是每兩個qubits都牽着手呢，還是只是兩個相鄰的qubits才牽手？它們牽手的方式，對我們的計算及通訊，又有些什麼不同的作用和意義？對這些問題，科學家們也是極為考究的。

再以上一節中提到過的三粒子GHZ糾纏態和W糾纏態為例說明。首先，我們將這兩種糾纏態的表達式推廣到n個qubit的情形。那時，它們可以寫成：

|GHZ>_n = |11…1> + |00…0>                              （14.6）

|W>_n = |10…0> + |01…0> + … |00…1>                  （14.7）

上一節中我們還將GHZ糾纏態比喻為Borromean環，而將W糾纏態比喻為Hopf環。簡言之，GHZ糾纏態是斷開一個就全部斷開，而W糾纏態卻是斷開一個不影響其餘。對於n個qubit構成的GHZ態和W態，這個描述仍然適用。比如，拿W態來說吧，n個qubit構成的W糾纏態，在其中一個糾纏斷開了的情況下，其餘n-1個qubit還能繼續保持互相糾纏。這個性質可以用到量子計算機的存儲器上，以保證存儲器在一個單元出了問題時，其餘部分還有可能維持正常工作。GHZ糾纏態的性質在量子通訊中也有它的用武之地，它就像是有許多把鎖，全部套在一起，鎖住了一個共用的大房間，每個人都只需要打開自己的那把鎖，房間就開了。這可以類似於所有的合伙人共用一套密碼來傳遞信息的情況，大家都能用自己的鑰匙打開房間，使用起來才比較方便。

量子計算機的最初設想，是美國物理學家理查德•費曼提出來的。我們在此文中，曾經多次提到費曼。費曼1918年生於紐約一個猶太人家庭。想必不少人都讀過那幾本頗為精采的、描寫費曼趣事的自傳性的小冊子：《別鬧了，費曼先生》和《你幹嗎在乎別人怎麼想》等等。不同於一般理論物理學家在人們心目中的嚴謹刻板形象，費曼被人譽為“一個智慧超凡的科學鬼才”，其傳奇故事膾炙人口。他從小就是個科學頑童，後來不僅是著名的物理學家，也是一位開保險箱專家和經常演出的邦戈鼓手。此外，他還曾經像一位真正的畫家一樣賣掉過自己的好幾幅繪畫作品。中學畢業後，他進入波士頓的麻省理工學院讀大學本科，再後來到普林斯頓大學讀Ph.D.，師從約翰·惠勒。剛從研究生畢業，他就參加了研製第一顆原子彈的著名曼哈頓計劃。之後，他開創路徑積分的想法，在量子場論中，用形象的費曼圖，直觀地表示粒子散射、反應和轉化等過程。因為他對量子電動力學的傑出貢獻，被授予1965年的諾貝爾物理學獎。

1981年的五月，美國波士頓MIT的校園裡，鮮花盛開，綠草如茵。科學家們在這兒召開了物理學和計算機技術的第一次會議，費曼博士在會上作了一個“Simulating Physics With Computers”的報告，從此揭開了研究發展量子計算機的新篇章。

像許多科學家一樣，費曼先生企圖用計算的方式來模擬這個物理世界。他在報告中提出了一連串令人深思的問題。首要問題是：經典的圖靈計算機可以用來模擬量子物理嗎？答案是否定的，就像現在的經典計算機無法在足夠短的時間內破解保密通訊的密碼一樣，當我們試圖用計算機來模擬量子力學時，計算量將隨着系統（微觀粒子數）的增大而指數增加。那麼，既然經典的計算機不行，是否有其他的計算模式可以模擬量子世界呢？費曼的想法別出一格，卻又合情合理：他認為微觀世界的本質是量子的，想要模擬它，就得用和自然界的工作原理一樣的方式，也就是量子的方式才行。對此，費曼風趣地表示，既然這個該死的大自然不是經典的，你最好是“模擬它的方法來模擬它”，以其人之道，還治其人之身嘛！我們得做到和大自然做的一模一樣。那就是說，我們要想模擬這個量子行為的世界，就得研究微觀世界的量子是如何工作的，然後，建造一個按照量子力學的規律來運行的計算機，最後才能模擬它。不過，費曼最後又感嘆地說：“天哪，這是一個非常精彩的問題，但卻不是那麼容易解決的！”

是可愛的費曼先生首先將物理學和計算機理論聯繫到一起，是他在MIT會上精彩的演講，使得計算機科學家開始用熱情的目光關注物理學的進展，關注量子力學。於是，這才有了後來種種有關“qubit”及其算法的研究，以及量子信息、量子計算、量子通訊、量子傳輸等等各個技術領域的重大發展和突破。

難能可貴的是，費曼還是一個孜孜不倦的物理教育家，他為大學生們所寫的《費曼物理學講義》，是由費曼的課上錄音記錄整理而成的，有趣的是，據說費曼真正去課堂上課時，每次只帶一張紙！這三大冊物理講義，遠遠不同於一般的教科書，特別是書中融入了費曼的個人思維方式和對物理學的觀點，至今仍然被視為大學物理教材中的經典。

理查德•費曼於1988年69歲時去世。一代奇才從此長眠地下，留給我們他對物理學，對計算機科學，對藝術，對生活的超凡理解和無限熱忱。還有他在病床上逝世前的最後一句話，如今聽起來，是否也頗有費曼先生活躍風趣的影子暗藏其中呢？費曼最後的話是：

“還好，人只需要死一次！否則很討厭，因為它是如此地沉悶……”

別了，費曼先生！

上一篇：從糾纏到qubit

下一篇：GHZ定理