費馬最後定理
世界近代三大數學難題之一。被公認執世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有
關數學難題得以解決的消息，那則消息的標題是「在陳年數學困局中，終於有人呼叫『
我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留着長發、穿着中古世紀歐洲學袍的
男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數學家費馬（Pierre de Fermat）（費馬
小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極
大的貢獻，因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子
」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的
數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內
容是有關一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定
理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之
兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有
整數解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等。
費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法
找到整數解。
當時費馬並沒有說明原因，他只是留下這個敘述並且也說他已經發現這個定理的證明妙
法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百
多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最
後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。
十九世紀時法國的法蘭西斯數學院曾經在一八一五年和一八六０年兩度懸賞金質獎章和
三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫
斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，
有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然
如此仍然吸引不少的「數學痴」。
二十世紀電腦發展以後，許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的
，1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確
的（注286243-1為一天文數字，大約為25960位數）。
雖然如此，數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解
決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實威利斯是
利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明。
五０年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲現的猜想，後來由另一位數學家志
村五郎加以發揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在八０年代德
國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據這個關聯
論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論
由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表，這個報
告馬上震驚整個數學界，就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的
證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以
修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數學界的夢魘終於結束。1997年6
月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金
，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。
要證明費馬最後定理是正確的
（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數解）
只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質數)，都沒有整數解。
附錄：費馬小傳
費馬（Pierre de Fermat）是十七世紀最偉大的數學家之一，1601年8月20日生於法國南
部土魯士（Toulous）附近的一個小鎮，父親是一個皮革商，1665年1月12日逝世。
費馬在大學時專攻法律，學成後成為專業的律師，也曾經當過土魯士議會議員。
費馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學者，精通數國語言，對於數學及物理也有濃厚的
興趣，是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認真專研數學，但是他對數學的
貢獻使他贏得業餘王子（the prince of amateurs）之美稱。這個頭銜正足以表彰他在
數學領域的一級成就，他在笛卡兒（Descartes）之前引進解析幾何，而且在微積分的發
展上有重大的貢獻，尤其為人稱道的是費馬和巴斯卡(Pascal)被公認是機率論的先驅。
然而人們所津津樂道的則是他在數論上的一些傑作，例如費馬定理（又稱費馬小定理，
以別於費馬最後定理）：apo a(modp)，對任意整數a及質數p均成立。這個定理第一次出
現於1640年的一封信中，此定理的證明後來由歐拉（Euler）發表。費馬為人非常謙虛、
不尚名利，生前很少發表論文，他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札
記，但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費馬最後定理，費馬天生的直覺實在是異
常敏銳，他所斷言的其他定理，後來都陸續被人證出來。有先見之明的費馬實在是數學
史上的一大奇葩。
