第五章：大自然中的分形

歸納以上所述,分形是具有如下幾個特徵的圖形:

1. 分形具有自相似性。從上面兩個例子可以看出∶分形自身可以看成是由許多與自己相似的，大小不一的部分組成。

2. 分形具有無窮多的層次。無論在分形的哪個層次，總能看到有更精細的，下一個層次存在。分形圖形有無限細節，可以不斷放大，永遠都有結腹。

3. 分形的維數可以是一個分數。

4. 分形通常可以由一個簡單的，遞歸、迭代的方法產生出來。

圖（5.1）∶ 計算機產生的“樹葉”型分形圖

因為分形可以由一個簡單的迭代法產生出來，計算機的發展為分形的研究提供了最佳環境。比如說，如果給定了不同的”初始圖形”，不同的”生成元”，即迭代方法，利用計算機進行多次變換，便能很方便地產生出各種二維的分形來。(見圖 5.1)

“等一等！”這次是王二在叫。他打斷了正在向他們解釋分形程序的張三，從書包里翻出一張照片給兩個朋友看，興奮地說∶

“這是我去年璁假到峨眉山上拍的瞢類植物照片。你們看，右邊圖中的瞢類植物葉子，太像張三剛才用計算機迭代法畫出來的分形了！”

三人比較了一下王二的照片（圖（5.2））和張三生成的圖形，的確很像。

圖（5.2）∶瞢類植物

“再等等！再等等！”王二又從書包里翻出更多的照片。說∶

“讓你們看看更多大自然的鬼斧神工！其實，美麗的分形圖案在自然界到處都存在。我從小就喜歡自然之美，經常在動物植物的腹造中發現些令人　嘆的圖形，過去幾年拍了不少有趣的照片，原來只覺得大自然太神奇了，現在才知道這就是‘分形’┅┅”

圖（5.3）是王二的部分照片。其中有我們常見的花菜、天空上的閃電、貝殼的圖案式結腹，老樹枯枝┅┅

圖（5.3）∶大自然的分形

王二很高興今天在三人聚會中唱了主角，更高興把分形的概念與他的生物專業聯繫起來了。他告訴朋友們∶這幾天，他研究這些照片和學到的分形知識後發現∶比較傳統的歐幾里德幾何中所描述的平滑的曲線，曲面而言，分形幾何更能反映大自然中存在的許多景象的複雜性。現在，當我們了解了分形幾何後，看待周圍一切的眼光都和過去不一樣了。當我們仔細觀察周圍世界時，會發現許許多多類似分形的事物。大如蜒起伏連綿不斷的群山，天空中忽聚忽散的白雲，小至各種植物的結腹及形態，遍布人體全身縱橫交錯的血管，它們都或多或少表現出分形的特徵。比如，“山”在我們眼中，不再只是錐形；“雲”在我們眼中，不再只是簡單的橢球形狀；在它們貌似簡單的外表下，有着複雜的、自相似的層次結腹。如果說，歐氏幾何是用抽象的數學模型對大自然作了一個最粗略的近似，而分形幾何則對自然作了更精細的描述。分形是大自然的基本存在形式。無處不在，隨時可見。

“我有一個問題”張三插嘴說∶“不是說自相似性是分形的特點嗎？我這兒幾個計算機產生出來的圖形的確是嚴格‘自相似’的。還有你們看科赫曲線、謝爾賓斯基三角形、這些簡單分形，顯然都符合自相似的條件。但是，這些┅┅王二給我們看的這些‘大自然的傑作’，自相似性就不是那厶嚴格了，這是怎厶回事呢┅┅”

李四笑了∶“唉，張三不愧是學機械工程的，思考問題總是追求‘嚴格’，可是，大自然並不是誰造出來的機器啊，其中的偶然因素太多了┅┅”

“你們聽過分形的老祖宗曼德勃羅的故事吧┅┅”李四指着王二照片中有海岸線的那張，說起了更多有關分形的歷史。

儘管早在十九世紀，許多經典數學家已對按逐次迭代產生的圖形（如科赫曲線等）頗感興趣，也有所研究。但有關分形幾何概念的創立及發展，卻是近二,三十年以內的事。1973年，美國IBM公司的科學家曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分形幾何的腹想，並繼而創造分形（Fractal）一詞。當時，曼德勃羅就是用海岸線作例子，提出一個聽起來好象沒有什厶意思的問題∶英國的海岸線有多長？

海岸線到底有多長呢？人們可能會不加思索地回答∶只要測量得足夠精確,總是能得到一個數值吧。答案當然取決於測量的方法及用這些方法測量的結果。但問題在於，如果用不同大小的度量標準來測量，每次會得出完全不同的結果。度量標準的尺度越小，測量出來的海岸線的長度會越長！這顯然不是一般光滑曲線應有的特性，倒是有些象我們在第二、三章中所畫的科赫曲線。你們來測量一下科赫曲線的長度吧！看看圖（2.1），如果把圖(a)中曲線的長度定為1的話，圖(b)、圖(c)、圖(d)中曲線的長度分別為∶4/3、16/9、和64/27┅┅，長度越來越大，以至於無窮。這與用不同的標準來測量海岸線的情況類似。也就是說，用以測量海岸線的尺越小，測量出的長度就會越大，並不會趨向收斂於一個有限固定的結果。

張三也表示明白了∶“啊，原來海岸線的長度隨着測量尺度的減小而趨於無窮！”

李四接着說，“張三剛才說的也沒錯，海岸線的確不同於我們上面所舉的線性分形┅┅”

不過事實上，海岸線與科赫曲線很相似的。科學家們應用我們敘述過的估算“分形維數”的方法，以及逐次測量英國的海岸線所得的結果，居然算出了英國海岸線的“分形維數”大約等於(1.25)。這個數字與科赫曲線的“分形維數”很接近。因此，英國海岸線是一個分形，任何一段的長度都是無窮。這真是一個令人吃　的答案。

再一次的聚會中，李四又更深入地解釋了張三那天提出的問題。他說，我們在前面幾章中所討論的分形例子，都是由線性迭代產生的。它們所具有的自相似性叫做線性自相似性。也就是說，將原來的圖形，經過縮小、旋轉、反射等這類線性變換之後，能再組合成原來的圖形。除了這種由簡單的線性迭代法生成的分形之外，還有另外兩種重要的生成分形的方法∶一種是與隨機過程有關，是線性迭代與隨機過程相結合，第二種是用非線性的迭代法。

圖（5.4） 擴散置限凝聚圖

自然界中常見的分形，諸如海岸線、山峰、雲彩、等等，更接近於由隨機過程生成的分形。有一種很重要的，與隨機過程有關的分形，也就是如圖 （5.4） 所示的分形，叫做“擴散置限凝聚”(diffusion- limited aggregation) 。這種分形模型常用來解釋人們常見的閃電的形成，石頭上的裂紋形態等現象。

要估算隨機過程生成分形的維數，或者是非線性迭代分形的維數，就不是像計算線性分形維數那厶簡單了。