這是一篇綜合報告，譯自MONTHLY 107， JAN。 2000 1-14，原題為 Mathematics at the
turn of the Millennium, 作者是 Phollip A. Griffiths，自1991年起任普林斯頓高等
研究院第七屆院長，美科學院院士，全美哲學學會委員，國家科學理事會理事（91-96）。
千年之交話數學--開場白
二十世紀是數學的黃金時代。許多重大而長期沒有答案的問題終於得到了解決，究其
成功的原因，大多數由於我們對數學各個分之之間複雜的相互影響及作用有了日益增長的
了解。那些相互關聯不斷深化和擴大，從而數學開始跨越自我來探索與其他科學領域間的
相互作用，已經導致了一些偉大的深刻見解的產生，也導致了數學領域在廣度和深度上進
一步擴大。我將在本文中討論幾個這樣的相互作用以及由此產生的深刻見解，描述二十世
紀的一些數學成就，還要提出我們在二十一世紀將面臨的一些挑戰和機遇。
千年之交話數學-數學世界-引言
作為數學家，我們在討論我們自己的學科時總面臨着進退兩難的窘竟。向一般讀者解
釋數學的最有效的方法是使用比喻，然而這要以喪失精確性為代價並招致被誤解的危險。
另一方面高深的數學術語對大多數人而言是晦澀難懂的，這些人中也包含了其他的可學家
。上屆國際數學家聯盟主席，我的同事DAVID MUMFORD曾說：“作為一個職業數學家，我以
習慣於生活在一種完全孤立的環境中，在它周圍的人們......帶着一種古怪的自豪感宣稱
，他們是數學盲。”然而，在數學界內部，使用精確的語言卻有明顯的好處。由於它的抽
象性和普遍性，數學沒有語言的疆界和政治的疆界。這便是數學為什麼總是帶有一種明顯
的國際風味的原因之一。一個日本數學家通常可以不經翻譯便讀懂德國同行們的文章。世
界範圍內在十分積極的從事研究工作的數學科學家數量不大（很可能不足一萬人），因而
在每個特定分支內工作的高度專門化的人員的數量也很少。這種形式所產生的必然結果是
：不管他們居住在哪國，同行們相互之間都很了解，並進行着遠距離的合作。本世紀中，
由不同國度的數學家聯合署名的文章越來越多（1981-1993年間增加了50%）。看來數學家
們對世界一體化這一當代潮流還是很適應的。然而這些數學家所做的到底是什麼呢？從大
處看，數學探求的是一些結構與模式，它們能為我們的宇宙帶來秩序，並使它簡單明了。
可以說，一向數學研究的目的或它的出發點並不比它顯露出來的模式和協同性來的重要。
正是這些模式和協同性給予數學以威力因為他們常能用來闡明另外的完全不同的領域和過
程：數學的其他分支，其他的科學，或整個社會。
千年之交話數學-數學世界-Fermat大定理
第一個要講的是A. Wiles給出的關於Fermat大定理的發證明，它曾是1993年度的全球性新
聞。這個例子之所以有意思，一方面在於Fermat這個人：他是個行為怪癖的法學家，一個
沒有發表過一篇文章的業餘數學家；另一方面則在於Wiles這個人：他在這個問題上獨自辛
勤耕耘了7年。還有一個原因是問題本身，它的解答依賴於350年來特別是近半個世紀以來
許多數學家所作出的在代數數論方面的基本進展。
這是Pierre de Fermat在研讀Diophantus所寫的《算術》這本關於數論的古代教科書
時寫下來的定理。自古希臘之後，人們對數論的興趣已經衰減；但Fermat熱愛數字。他偶
然看到了我們大多數人在學校都學過的畢達哥拉斯方程：x^2+y^2=z^2。直到今天無數學校
的孩童們仍在學說着：“直角三角形斜邊長的平方等於另外兩邊長的平方和。”畢達哥拉
斯的整數解尤為有趣，譬如象勾三股四弦五這種漂亮的直角三角形解。Fermat注意到，當
方程的指數大於二時，他可能沒有整數解。同時他用拉丁文寫到，他發現了對此結論的奇
妙的證明，可惜書的空白太小無法寫下。但是，人們從來就不曾找到這樣的證明。Fermat
寫了很多這樣的眉批（有些是用來嘲弄他的同時代的數學家的），經過了幾個世紀，這些
眉批中提出的問題都重新得到了解答但惟獨這個沒有，即Fermat大定理。Adrew Wiles生長
在英格蘭，他第一次看到Fermat大定理是在劍橋大學圖書館裡，時年十九。他認定，有一
天他要證明它。儘管當時他還是一個年輕數學家，但他已經知道直接由Fermat大定理本身
來追尋答案是不可取的，取而代之，他決定在代數數論的一個複雜領域，即Iwasawa理論上
展開工作。但是他從來沒有忘記過Fermat。1986年他獲悉伯克利加洲大學的一個同行Ken
Ribet取得了突破進展，他將Fermat大定理與另一個尚未解決的問題聯繫起來了，這個問題
就是所謂的aniyama-Shimura猜想；這是1955年提出來的以代數幾何方式闡明的一個另人驚
奇的好猜想。綜合了一連串的極其複雜的推理之後，上述的這個聯繫表明，如果證明了這
個猜想也就證明了Fermat大定理，它在橢圓曲線與模形式這兩個複雜而又精細的領域之間
架起了一做橋梁，給出了一部字典，使這兩個領域中的問題和觀點可以相互轉換。它還意
味着，Wiles早期在代數數論中的工作對他做Fermat大定理是有幫助的；不管他能不能找到
一個證明，他都可以引出
一些有意思的問題來。在一連串令人困惑的阻礙和猛然的醒悟之後，他終於找到了一個證
明。甚至在已經提交了他的成果之後，在審稿過程中還發現了一個關係重大的錯誤，這使
他又多幹了一年多的活。一時似乎又沒有解決辦法了，最後卻又有了。Wiles稱這個最終的
領悟是“我研究生涯中最重要的時刻。它是如此難以明狀的美麗，它是如此的簡明而精練
，我目瞪口呆了足有二十分鐘而不敢置信。”“或許借用穿過一座黑暗而未經勘察過的大
廈的行程來描述我作數學的經驗是最好不過的了。你進到大廈的第一個房間，它完全漆黑
一團，你跌跌撞撞的轉來轉去，碰撞着各種家具；但是一般說來，你還是知道了每件家具
的位置。最終大概在六個月左右，你找到的照明開關，開了燈；忽然間一切都照亮了，你
完全明白了你在那裡。而後你又進到下一間房間，又在黑暗中花去六個月。這些突破的每
一個，或是瞬間的或是超過一兩天的，它們都是先前許多個月在黑暗中跌跌撞撞，轉來轉
去的最終結果，沒有這些就沒有突破。”
——摘自“Andrew Wiles, who provet Fermat's Last Theorem in 1993”
Fermat真的在十七世紀就完成了他的證明嗎？無疑一些人還會去繼續尋找肯定答案的證據
，單事實極可能不是這樣。Wiles的工作應用了在Fermat時代還沒有的而在19和20世紀才出
現的全部數學分支。在Fermat方程下面正展現出一個巨大而精細的形式結構，他正是數學
家們努力尋求的東西。Fermat大定理的解答是由於對那個結構的了解才出現的。
千年之交話數學-數學世界-Kepler的球堆積猜想
第二個問題是Kepler的球堆積猜想。象Fermat問題一樣，球堆積問題只能在最近的幾十年
里才能得以解決。即便如此，它也花費了Thomas Hales十年的時間。Hales是Michigan大學
的數學教授，也如Fermat問題，球堆積問題聽起來簡單，但在差不多四個世紀時間裡它打
敗了數學家。這兩個問題都有捉摸不定的難點，以至有無數數學家曾相信他們找到了答案
——可是，這些答案原來都是錯的。這個問題是在16世紀後半葉提出來的，是當時Walter
Raleigh爵士向英國數學家Thomas Harriot提的一個問題：找一個快捷方法來估計在船甲
板上能碼放的炮彈數目。Harriot轉而寫信告訴了德國天文學家Johannes Kepler，他也對
碼放問題感興趣；如何將球放置的使期間的空隙最小？Kepler發現最為有效的方式莫過於
水手們碼放炮彈的自然方式或是雜貨商們碼放橘子的方式了，這些自然方式稱為面心立方
堆積。Kepler聲稱，以這種技巧給出的堆積是一種最緊密的方式，從而在沒有其他排列能
夠在同一容器中放進更多的球狀物。這個斷言便冠以Kelper猜想而知名。
主要的進展是在十九世紀取得的。那時具有傳奇色彩的德國數學家Karl Friedrich Gauss
證明了橘堆式的排列是在所有格堆式中最為有效的；但是這並沒有排除掉存在更為有效的
非格式排列的可能性。到二十世紀，Hilbert認為Kepler猜想十分重要從而把它收入到他的
23個重大的待解決的問題中。
此問題的困難在於有數量巨大的可能性必須排除。20世紀中葉，數學家們知道了如何把它
約化到一個有窮的問題，但該問題仍然太複雜而無法計算。1953年有了重大的進展當時匈
牙利數學家Laszlo Fejes Toth把它約化到對許多特殊情形的大量計算，並且提出了可能用
計算機去解決的辦法。
Hales面臨的挑戰仍然十分巨大。他的方程含有150個變量，每個變量的變化必須描繪出每
中可以想象到的堆積方式。證明用了250頁的論證來解釋，它包含了3G的計算機文件；它大
量的依賴於由其他分支來的方法，其中包括整體最優化理論，線性規劃及區間運算。Hale
s承認，對於如此冗長如此複雜的一個證明，任何人要確認它所有細節的正確性都是頗費時
日的。
值得一提的是上述做法決不是無足輕重的。球堆積這個課題屬於數學的一個關鍵部分，它
是支撐着差錯檢測碼和糾錯碼理論的基礎。而這些理論被廣泛應用於在高密度盤上存儲信
息，用於壓縮信息以便在全世界範圍內傳輸。在今天的信息社會中還難於想出比這更有意
義的應用了。
千年之交話數學-數學世界-四色問題
作為球堆積的附帶問題，值得一提所謂繪製地圖的四色問題。問題的敘述是：對任何一張
地圖着色時，如果使相臨的國家着以不同的顏色，那麼只用四種不同的顏色就足夠了。它
與球堆積問題的類似之處有二：一它是個初等問題，當英國數學家Francis Guthrie在185
2年提出時似乎就可以直接做出來；第二個相似之處是所給出的證明是把它化為一個有窮的
問題，然後需要完成極大的計算量。證明是由Wolfgang Haken和Kenneth Appel在1976年完
成的，它包含了如下結論：如果列出的x張地圖中每張都可以用四色着色，則所有其他的地
圖也都可以。雖然可以想象的地圖數有無窮多張，但二人指出他們全部都能四色着色只依
賴於有限多張基本地圖的着色性，儘管其數量仍然十分龐大。這是要屈從於計算機本身能
力的第一個有意義的問題。同時，它引出了一些人的看法：那種“蠻力”式的計算機證明
缺乏傳統證明的明晰性，這就是說，他們證明了這個猜想為真，但是並沒解釋為什麼是這
樣。預期就此問題還會有進一步的辯論。
千年之交話數學-數學世界-數學的雙重性
我們已經談到了數學的那種自命不凡的名聲；事實上，它被稱之為科學的女皇：多少有點
高人一等的意味。有一種純而又純虛無縹緲的感覺，又一種為他們自己而起舞的感覺，的
確，數學家G. H. Hardy就說過，數學活動應該被視為一種藝術形式。實際上，這裡確有一
種與藝術平行的東西，象藝術家一樣，數學家相當倚重於審美觀和直觀。在洗澡或散步之
時就解決了問題這決非罕見之事。至於實用性，這是數學家最為寵愛的一個論點。只舉少
數幾個例子，現代計算機要是沒有來不尼茲的二進制數碼就不可能出現；沒有雷曼幾何的
發展，愛因斯坦就不可能闡明他的相對論；還有量子力學的龐大結構，晶體學及通訊技術
，他們都實實在在建立在群論的平台上。另外，相對於數學家的人數而言，他們所達到的
領域似乎更大。那就是說，數學家們（
在一個孤單的行星上一個孤單的物種中的一個微不足道的子群落）的思維產物似乎反映了
能用於整個宇宙的原理。在本世紀早期，物理學家Fugene Wigner稱此現象為“（抽象）數
學在自然科學中不可思議的有效性”；到了今天，人們還可以把這種有效性擴大到藥物設
計，財經以及其他的許多領域。對於數學構想的最初起源有着許多不同的見解。
Arthur Jaffe的意見是：“數學的概念與思想並非完全從研究者的頭腦中長出來。數學家
經常從自然界的各種模式中獲得靈感。在我們探索其他自然現象的時候，我們從與自然界
的每次遭遇中所吸取的教訓一直在起作用。”
數學家總是把他們的發現帶進相臨的領域，在那裡他們產生新的洞見乃至整個新的分支。
英國哲學家培根在啟蒙運動前期的1605年就預先描繪過這種與恰當的想象力結為一體的科
學中的基本原則：“沒有任何一個完美的發現是在同一個水平或在平坦狀態上得到的；如
果你站在與這門科學同一水平而不登上一門更高的科學的台階，你就不可能發現它的更深
更遠的部分。”
在二十世紀，數學一次又一次的登上了那個更高台階。舉例來說，x射線斷層照相術（CAT
與MRI掃描技術）的發展是建立在積分幾何的基礎上的；數據安全傳輸理論的產生有賴於素
數的算術；在電子通訊中，大範圍的高效的網絡設計使用了群的無限維表示論。
因此數學具有雙重性：一方面它是一門`獨立的學科，其中的價值觀取決於精確性與內在美
；另一方面，它又是實用世界中各種工具的豐富源泉。這種雙重性的兩個方面緊密關聯。
在本文後面的部分，我們將會看到：在二十世紀正是由於這些關聯的強化才使得數學領域
不斷的增強了有效性，這不僅僅指在數學的內部，在其外部世界也同樣如此。
千年之交話數學-二十世紀的潮流-引言
說當今的數學是健康的主要理由，在於這個領域內的各種壁壘以分蹦離析。乍看起來，全
部數學具有一個由兩千多年以來的概念、猜想、假設和定理堆積成的碩大無比的軀體，似
乎應當藐視任何統一的可能性。那種一個巨人（象歐拉高斯）可以象整個數學發號施令的
日子已經一去不復反了。隨着二站之後各個分支的飛速發展，數學變的相當專門化，以至
於從事某個分支工作的人很難與他們自己專業以外的人進行交流。
今天，這些專家們通常分散在波思、普林斯頓、伯克利和東京各處。
然而相輔於這些分離的趨勢確是另一種日益增強的趨勢，即以一種包羅一切分支的方式來
解決有趣的問題。過去看作完全無關的各個分支現在則被看作一個整體的各個部分，因為
他們之間出現了新的聯繫，就以我最熟悉的領域代數幾何為例，它結合了代數、幾何、拓
撲和分析。就在本世紀行將結束之前，在純數學的一些頂尖成就中，這個相互聯繫極強的
領域裡發生的協同作用起了主要的作用。當然，其中一個成就就是Fermat大定理的解決，
另一個則是Mordell猜想的解決。後者是說，一個次數大於四的有理係數多項式方程最多只
有有限個有理數解（Fermat方程則沒有這類解）。第三個是解決了Weil猜想，他是Rieman
n猜想在有限域中的一個類比。所有這些成就反映了數學家能同時利用多種分支並把數學看
作一個整體的能力。
千年之交話數學-二十世紀的潮流-孤立子
孤立子理論是二十世紀後半葉最為突出的數學成就之一，解釋了這一領域所具有的潛在的
統一性。孤立子是非線性波，它展現出極端特別和有趣的性態。
我來敘述一點背景知識。習慣上，我們談到的不同的波有兩類。一類是線性波，是日常生
活中所熟悉的那種，例如光波和聲波。線性波穿過空間的傳播是一致和不變的。就是說不
管其形態如何，它們的速度是常值。C高音的傳播速度與E低音一樣，它們的波長相同；如
果你聽到的一個C高音的塊狀和弦，那麼，它仍然還是C高音。線性波遵從疊加性：當你在
鋼琴上同時按下多個音鍵，馬上聽到的總是幾個音調的總和，它使我們聽到了和音。一個
非常複雜的聲音甚至可以分解出構成它的各個成分。
第二類即非線性波，它們既不親密也十分不同。簡單的例子可在由海浪沖向岸邊時的情景
看到。這時，在線性情形下不變的波幅、波長及波速全都能改變。當波浪“感覺”到海底
時，波峰之間的距離開始變小而高度卻增加了，速度也改變了；波浪的最上面部分突然壓
相它的底部，而當波浪破碎之時正好摔在底下的部分上。在某些錯綜複雜的情形下，兩個
波甚至可以相聚，以複雜的非線性方式相互作用；這時產生了代替那兩個波的第三個波。
現在再轉到孤立子。故事要從1834年談起。那時有個蘇格蘭工程師名叫John Scott Russe
ll,他試圖找出設計一條運河的最佳方案。有一天，他觀察到在一條淺淺的運河中，波浪有
時以一種非常奇特的方式移動。波可以常速傳播很長一段路程而不改變形狀，但那些具有
較大波幅的波比那些具有較小波幅的走的快。一個較大的會追上一個較小的，從而產生一
種複雜的相互作用；之後，較大的波以比較小的波更快的前進方式出現。在這一陣非線性
作用之後，它們又會以線性方式運動。
二十世紀中期，有一群數學家在研究非線性波導方程。由於該方程描述了非線性波動，他
們期望解會在某處產生奇點或間斷，就好象相交的波以非線性方式相互作用和斷裂那樣，
他們寫下了對這個方程進行數值計算的程序並發現這些波並不象預期的那樣斷裂。這使得
他們去查看Korteweg-de Vries方程，該方程是在一個世紀前得到的，用以描述淺水波浪的
行為，人們終於發現那些由Russell所觀察到的現象可以由Korteweg-de Vries方程從數學
上加以證明；換句話說，那個方程的解展示出了孤立子的性態。這是些極不平凡的方程，
因為孤立子就是在某些方式下象線性波而在另一些方式下象非線性波。
這個發現引起了蜂擁般的研究活動，它正是以最漂亮的方式展現了數學的統一性。它引起
了計算方面和分析方面的進展，而分析是研究微分方程的傳統方法。人們還發現，我們可
以通過代數幾何中一些非常精細的構造來解這些方程。。這些解也與表示論緊密相關；從
表示論來看，這些方程原來具有無窮多個隱藏着的對稱性。最後，它們還與初等幾何中的
問題相關。例如，一個有趣的問題是：找出一個固定體積的錐體，當邊界給定時，使其表
面積最小。一點也看不出這個問題與淺水波有任何聯繫，然而事實上確有。描述這個解的
微分方程就有孤立子的性態，它與描述淺水波的方程一樣。於是我們可以從兩個數學問題
着手，一個是數學物理的而另一個是微分幾何的，它們中每一個都展現了同樣極端罕見和
極端有趣的孤立子性態。
千年之交話數學-二十世紀的潮流-數學與其他科學
在內部壁壘崩塌之後，數學與其他科學，與商業、經濟、保險、管理、決策以及複雜系統
的建模等等有了非常多的相互影響和作用。這些學科中有些也以有趣的新型問題向數學提
出挑戰，而這又會給出新的應用。
千年之交話數學-二十世紀的潮流-數學與理論物理
上述的這種關係沒有比在理論物理那裡看的更清楚了。除去對純粹數學的貢獻外，代數幾
何一直被理論物理學家用來研究統一場論，或者更準確的說，是一種把重力與物理的三種
基本力統一起來的理論，這三種力是強核力、弱核力及電磁力。
一種新的統一場論的令人興奮的侯選者是所謂的超弦理論，這個名字來自下述思想：物質
的最初級的構造單元是些微小的形如弦狀的圈或段，它們以不同的模式象小提琴的弦那樣
震動。為了理解這種極其複雜的理論，一群理論物理學家便深深扎進數學裡面，在那裡他
們做出了一連串驚人的數學預言；這些預言已開始得到證實。這些成果刺激出一大堆突如
其來的工作，它們更增加了這個理論似乎是合理的根據。它也釀造出四維數學的一個新分
支，被稱為量子幾何學；它也正在物理學中開闢一個新視角。
在1998年的Fields獎中可以看到數學與物理之間緊密關聯的另一個表現。Fields獎是數學
界的最高榮譽。在四位獲獎者中有三位的研究領域都受到物理學的極大影響，而一項專門
獎（Nevanlinna獎--校注）授予了在量子計算方面的工作，而這量子計算則根植於量子力
學中。
千年之交話數學-二十世紀的潮流-數學與生命科學
一個急速壯大的新的夥伴關係當屬數學與生物學之間的合作。這種合作關係開始於20世紀
20年代，發生在生態領域中。那時，意大利數學家Vito Volterra建立了第一個捕食與被捕
食之間關係的模型。他發現食魚的魚和被吃的魚的群體的盈虧消長可以用數學來描述。二
戰之後，由Volterra發展起來的對群體建模的方法推廣到了流行病學，用以研究較大群體
的疾病。
最近，分子遺傳學的觀點激勵了科學家們把這些方法用於傳染病研究中，其研究的對象不
是有機體或人的群體而是細胞群體。在細胞系統中，捕食者譬如是病毒群體而被捕食者是
人體細胞群體。兩個群體在為了生存而進行的達爾文式的鬥爭中有消有長；這適合於用數
學來描述。近十年來，將傳染源體視為捕食者而宿主細胞視為被捕食者的數學模型，已經
重新界定了下述領域的許多方面，他們是免疫學，遺傳學，流行病學，神經學及藥物設計
。這個夥伴關係之所以成功，原因在於數學模型提供了有威力的工具，用以描述在生物系
統中所發現的由數量和關係構成的龐然大物。
例如，數學生物學家已經能對許多東西作出定量預測，包括病毒和微生物如何在宿主中生
長，他們如何改變宿主的遺傳因子結構，以及它們如何與宿主的免疫系統相互作用。最令
人驚訝的一些結果出現在對愛滋病的研究中，完全反轉了對受感染病人中的HIV病毒的看法
，先前通行的看法以為HIV病毒在感染宿主細胞並致病之前會潛伏大約十年時間，數學建模
指出，導致最嚴重疾病的那種HIV病毒並不是蟄伏的；它不斷迅速生長，其半壽期只有兩天
而已。
那麼，為什麼要平均十年才開始發病呢？又是數學建模告訴我們，疾病的發展是由病毒的
進化造成的，免疫系統可以把病毒抑制一個較長的時間，但是最終病毒會突變為一個新的
形式，數量猛增並摧毀免疫防線，發生這種情況的原因，在於病毒象其他的傳染源體一樣
，可以以比它們的宿主更快的速度繁殖，而且它們的遺傳物質的複製不太精確。事實上，
每個HIV傳染體差不多可以看作為一個進化過程，其中病毒群體不停的變化着而新的病毒突
變體源源不斷的出現。自然選擇法則偏愛那些能夠逃避免疫反應的或那些能感染更多類型
的人體細胞的變種以及能繁殖更快的變種，這個模型證明了，所有的進化極大的增加了病
人體內的病毒密度和數量，從而加速了病變。
這些數學模型也使人明白了為什麼抗HIV藥物應該幾種藥物組合使用，而在被感染時要儘早
使用。藥物的組合使用之所以最有效是因為病毒極少會立刻產生多重突變。而且在病毒進
化還沒有發展到太遠時就應該儘早使用這些藥物。
下個世紀中對人類健康一個主要威脅是藥物治療引起的細菌抗藥性問題，而這也是數學模
型有用武之地的另一個領域。這些模型可以提出一個搜索和分析數據的清晰準則，從而使
得藥物更加有效。描述傳染源體和免疫系統間複雜的相互作用的好模型最終會開創出一個
新的定量免疫學學科。
還有許許多多的數學與其他科學的夥伴關係；許多最具創新力和經濟價值的工作都是在領
域之間、學科之間的邊緣上做出來的。流體力學的研究中有個非常好的例子。從前要描述
流體的複雜運動，象颶風、通過心臟的血流在多孔地層下的油流等等，幾乎是完全不可能
的；而在發現一個純粹的數學構造，即稱之為Navier-Stokes方程之後，正好可以解決這些
問題。控制論是動力系統理論的一個分支，它給出另一個例子。只舉其中一個應用，既高
性能飛行器的大量測試工作可以用計算機同時進行，這極大的減少了使用風洞和試飛的花
費和危險。
強調一下以下的事實是重要的：儘管建模和仿真模擬都是現代的和重要的研究專題，但我
們仍然不太善於處置那些出現在複雜仿真中的易變因素。學會與易變因素鬥爭是數學家需
要優先處理的事情，他們必須從基礎上發現新的方法才能了解這些易變因素在模型中是怎
樣產生的，有時怎樣在系統中傳播的，我們模型的準確程度只能與我們消除易變因素的能
力相當。
