第十八章﹕生態繁衍和混沌

“生命的誕生和消亡，生兒育女，生老病死，是人人都關心的問題。你們沒想到吧，這也和混沌沾上了邊……”

在一個小教室里，王二嘻皮笑臉地開始了他對生物繁衍中的混沌現象的介紹。一年多過去了，三個朋友的‘分形和混沌’討論會已經擴展到了十幾個人，多數是大學生，也有幾個研究生，比如李四和張三。

中國人對馬爾薩斯的名字並不陌生，對他的“人口論”更有切身的體會。托馬斯·馬爾薩斯1766年出生於一個富有的英國家庭，父親丹尼爾是位哲學家，與著名法國哲學家盧梭是好朋友。沒想到丹尼爾這個樂觀的學者卻生出了托馬斯這個對世界前景充滿悲觀論調的人口學家。1798年，托馬斯·馬爾薩斯發表他著名的《人口學原理》，對人類作出一個悲觀的預言：人口將以幾何級數增長，超越食物的算術級數增長，因而，最後將必然導致戰爭、瘟疫、饑荒等等人類的各種災難。

馬爾薩斯的人口論基於一個很簡單的公式：

X_n+1 =（1+r）X_n = kX_n                         （18.1）

公式中的X_n+1代表第（n+1）代的人口數，X_n代表第（n）代的人口數，r = （X_n+1- X_n）/ X_n，是人口增長率。k=1+r通常是一個大於1的數，因而，人口數便以k的冪級數增長。我們假設迭代次數以‘年’計算，有了這個公式，從某年一個初始的人口數出發，便可以推算出下一年、再下一年、再再下一年的人口數來。

這兒，馬爾薩斯犯了一個錯誤，他把各種災難作為人口增長之後的結果來處理。而實際上，戰爭、瘟疫和饑荒是伴隨着人口繁衍而同時發生的，必須在方程中就將這些因素考慮進去。因此，後來的學者們對這個理論進行了修正，在公式（18.1）的右方加上了一個負的平方修正項，變為：

X_n+1 = kX_n – （k/N）·（X_n）²                       （18.2）

這個非線性修正項則是反映了諸如食物來源、疾病、戰爭等等生存環境因素對人口的影響，負號表明這種制約導致下一代人口X_n+1的減少。這就是生態學中著名的邏輯斯蒂方程，它不僅僅可用於‘人口’的研究，也可用於對其它生物繁衍，種群數量，諸如‘馬口’，‘鳥口’，‘蟲口’等等的研究。上面的（18.2）也可改寫成：

x_n+1 = kx_n – k·（x_n）² = kx_n·（1-x_n）              （18.3）

公式（18.3）中，我們將大寫的X變換成了小寫x，用以表示相對人口數：x=X/N，N是最大人口數。

從（18.3）明顯地看出，下一代的x_n+1，是上一代的x_n和（1-x_n）的乘積。當x_n增大時，（1-x_n）則減小，因而邏輯斯蒂方程同時考慮了鼓勵和抑制兩種因素。此外，由於（18.2）中的第二項是個非線性項，聽到‘非線性’這個詞，你們就要小心啊！非線性的效應使得方程中暗藏了‘混沌’這個魔鬼。

“不過沒關係，魔高一尺，道高一丈。曾記否？我們有計算機，那是能讓混沌魔鬼現出原形的照妖鏡……”王二對遞給他礦泉水的林零笑了笑，插了句玩笑話後，繼續他的演講。

計算機技術尋找‘混沌’魔鬼，的確功不可沒。20世紀70年代，繼洛倫茨之後，各個領域的人們都開始注意用計算機研究混沌現象，尋找各種非線性方程的奇異吸引子。那時，英國有個羅伯特·梅，來到美國普林斯頓大學，他看上了生態學中這個既簡單而又非線性的邏輯斯蒂方程。

圖（18.1）：澳大利亞出生的英國生態學家羅伯特·梅

羅伯特·梅1938年生於澳大利亞悉尼，是個在各個領域涉獵甚廣的科學家。他最開始學的是化學工程，後來轉向理論物理。作為一個理論物理博士和教授工作多年之後，羅伯特·梅對理論生態學、人口動態研究、生物系統的複雜性及穩定性等問題發生了濃厚的興趣。因此，他在普林斯頓大學任教期間（1973-1988），研究方向便完全轉向了生物學。

羅伯特·梅將邏輯斯蒂方程用來研究昆蟲群體的繁殖規律。不過，他並不是簡單地跟隨氣象學家洛倫茨的腳步，畫出邏輯斯蒂方程的奇異吸引子而已。他的研究有他的獨到之處，他感興趣的是方程（18.2-3）中的參數k。羅伯特·梅發現，參數k的數值大小，決定了混沌魔鬼出現或者不出現！當k值比較小的時候，混沌魔鬼消聲斂跡無蹤影，只有當k大到一定的數值時，混沌魔鬼才現身。

圖（18.2）：對應於不同的k值，邏輯斯蒂方程解的不同長期行為

羅伯特·梅於1976年，在英國《自然》雜誌上發表了他的研究成果—《表現非常複雜的動力學的簡單數學模型》^[1] ，論文引起學術界的極大關注，因為它揭示出了邏輯斯蒂方程深處蘊藏的豐富內涵，這已經遠遠超越了生態學的領域。

現在，讓我們更直觀地解釋一下方程（18.3）和圖（18.2）的意義，看看方程（18.3）是否具有混沌魔鬼的行為？請注意，這兒所說‘行為’的意思是指‘長期行為’。也就是說，我們需要研究的是：用方程（18.3）作迭代，當迭代次數趨於無窮時，群體數的最後歸宿，是經典的還是混沌的？圖（18.2）中的綠色曲線，是羅伯特·梅的研究結果。他用綠色曲線畫出了最後的相對群體數x_無窮隨着k的增大而變化的情形。x_無窮是當n趨於無窮時x_n的極限。圖（18.2）中下面四個小圖，則是在一定的k值下作迭代的過程。必須注意，在方程（18.3）及圖中的x_i是‘相對’群體數，可以把它規定為是相對於一個最大的群體數N而言，比如，我們可以取N = 10000，群體數的初值取為1000，也就是說，某種生物最開始時有1000個，那麼，不難算出相對群體數的初值，x₀=1000/10000=0.1。

這個看上去有點奇怪的綠色曲線可以按照k的大小，曲線的不同形態分成好幾段，圖中分別記為：滅絕->平衡->雙態平衡->混沌。

因此，羅伯特·梅發現，對邏輯斯蒂方程的混沌魔鬼來說，參數k的數值太重要了。增大k的數值可以讓混沌魔鬼誕生出來！但是，混沌魔鬼是怎樣生成的？為何k變大就能形成魔鬼呢？於是，羅伯特·梅便詳細地研究了混沌魔鬼誕生的過程，對此我們將在下一章繼續討論。

參考資料：

【1】May, R. M. "Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics." Nature 261, 459-467, 1976.

http://matematicas.euita.upm.es/GRuiz/ICF/Pdf/May76.pdf

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