數學家的困惑：強弱孿生素數猜想竟然等價

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2013年5月，張益唐在哈佛大學作報告率先證明“弱孿生素數猜想”的同時，法國高等師範學校教授Harald Helfgott在網上宣稱間接證明了弱哥德巴赫猜想：任何一個大於7的奇數都能被表示成三個奇素數之和，有望徹底解決三素數定理。之後，2006年菲爾茲數學獎得主陶哲軒所在的playmath小組迅速跟進。

半年之後，2013年11月19日，陶哲軒小組和蒙特利爾大學的博士後James Maynard幾乎同時宣布：已將張的界限推進到600。

2013年，是世界數學界的素數年。

孿生素數猜想：存在無窮多個素數p，使得p + 2是素數。即孿生素數(p, p + 2)有無窮多對。
1849年，法國數學家Polignac提出了一般的猜想，即波利尼亞克猜想：對所有自然數k存在無窮多個素數對((p, p + 2k)。k = 1的情況就是孿生素數猜想。

張益唐應用GPY結論破譯的弱孿生素數猜想，其實是波利尼亞克猜想中當k＜3500萬，2k＜7000萬 的弱形式。k=1,即孿生素數猜想。

2005 年, Goldston, Pintz and Yildirim(GPY) 使用常規手段Selberg 篩法與 Bombieri-Vinogradov定理，結合一些新的組合數學的方法，證明了下面的突破性的定理：
對任意ε>0, 存在無窮多對不等的質數 p,q, 使得
|p-q|<ε*log p.
G和Y稍早時候的一些思想在Green和陶哲軒的存在任意長等差素數的重大結果中起到了作用；陶哲軒憑這一結果獲得了2006年的菲爾茲獎。
之後，出人意料的是，張益唐獨闢蹊徑，發現了一個驚人的結果：存在無窮對素數 p,q, 使得
|p−q|<7*10^7.

孿生素數猜想首先從波利尼亞克猜想取得突破，出乎數論學家的意料。
當陳證明(1+2)時，有人說：離皇冠上的明珠，只一步之遙。
當張證明7000萬時，有人說，距離解決僅僅一個髮絲的距離。
誰能最終走出只能逼近，無法成功的怪圈？

GPY在得知張的結論時斷言：應用張的方法最多只能將界限推進到16，不可能推進到2。即：用張的方法不可能證明孿生素數猜想。

即使界限推進到2，即孿生素數猜想，也只能解決波利尼亞克猜想是否成立，而不能解決波利尼亞克猜想素數對有多少問題，只能定性證明而不能估算。即不能給出波利尼亞克猜想表達式。難怪老張在接受媒體採訪時表示下一步會研究哥德巴赫猜想。

說到孿生素數猜想，不能不提哥德巴赫猜想：任一大於6的偶數都可表示為二個素數之和，即( 1+ 1)。

數學家認為：哥德巴赫猜想與孿生素數猜想同源。

孿生素數猜想：世界上最遠的距離，不是7000萬到無窮大的距離，而是彼此相鄰，卻永遠無法走到一起。哥德巴赫猜想：世界上最遠的距離，不是無窮大的距離，而是彼此相對，卻得不到社會的認可。

自哈代以來，數論學家的成就很少超過哈代的。因為哈代給出了孿生素數猜想和哥德巴赫猜想偶數公式，哈代的理論成了數論聖經。但是，哈代並沒有給出波利尼亞克猜想公式。一百年來，關於孿生素數猜想公式和哥德巴赫猜想偶數公式的研究沒有絲毫進展。

1921年，英國數學家哈代和李特爾伍德提出了以下的孿生素數強化版猜想：強孿生素數猜想。
設T(x)為不超過充分大的自然數x中的孿生素數對個數，T(x)～2C*x/(ln x)^2。
1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德提出了哥德巴赫猜想偶數公式。
設G(x)為大偶數x中可以表示為(1+1)的素數個數，G(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2＜p＜x,p|x)。
其中：C=∏(1-1/(p-1)2) (2＜p＜x)，p是素數。∏為連乘符號。

C即著名的拉曼紐揚孿生素數常數，2c的極限值：1.32032236316937。這是印度偉大的數學家拉曼紐揚，通過特異感覺功能發現的。國內外數學家都不清楚拉曼紐揚常數是怎麼得來的，但是，都承認和用這個常數。

本人認為，哥德巴赫猜想與波利尼亞克猜想同源，而且等價，二者可以統一。由(1+1)素數和孿生素數的起源，不難發現這一點。因此推出了波利尼亞克猜想公式以及兩個猜想之間等價的條件。

設G(x)為大偶數x中可以表示為(1+1)的素數個數，G(x)=2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x)) (2＜p＜√x,p|x)
或G(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2＜p＜√x,p|x)
設T(x)為不超過充分大的自然數x中的孿生素數對個數，T(x)=2C*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x))
或T(x)～2C*x/(ln x)^2
設T2k(x)為不超過充分大的自然數x中的素數對(p, p + 2k)個數，T2k(x)=2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x)) (2k＜√x,2＜p＜√x,p|k)
或T2k(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2k＜√x,2＜p＜√x,p|k)
其中：C=∏(1-1/(p-1)2) (2＜p＜√x)，p是素數。O(2/ln x)是大O符號，表示誤差項的漸進上界。ln x為x的自然對數。～為等價符號，通俗的說法即近似相等。

可以看出：
波利尼亞克猜想公式與哈代哥德巴赫猜想偶數公式形式上相似，只不過是是將x的奇數因子p轉換為k的奇數因子p。當x=2^n，哥德巴赫猜想與孿生素數猜想等價，這個特例數學家都知道。哈代和數學家怎麼會不知道二者之間的轉換呢？這是因為，如果將哈代哥德巴赫猜想偶數公式轉換為波利尼亞克猜想公式，以為是自相矛盾。

如：孿生素數對個數T(x)與表兄弟素數對(p, p + 4)個數T4(x)，素數對(p, p + 8)個數T8(x)，T16(x)，T32(x)，T2^n(x)會等價，即：強弱孿生素數猜想等價。素數對(p, p + 6)個數T6(x)與T36(x)，T216(x)，T6^n(x)等價，即Polignac猜想內部等價。

太不可思議了。自相矛盾嗎？不是！而且本來如此。條件是：x＞(2k)^2。

如果強弱孿生素數猜想等價性獲證，只需在600到7000萬之間，任取2k=2^n，如2k=1024。根據等價性，當x＞10242時，T(x)與T1024(x)等價。T1024(x)有無窮多對已證，則T(x)也有無窮多對。

孿生素數猜想因此獲證。

布朗常數的誤區

布朗常數B2(孿生素數倒數和)：B2 ≈ 1.902160583104
布朗常數B4(表兄弟素數倒數和)：B4 ≈ 1.1970449
布朗定理：發散必無窮，收斂不知道。

其實，發散只是無窮的充分條件，不是必要條件。無窮未必發散。
1996年，Marek Wolf 驗證了1012(一萬億)以內的孿生素數對個數T(x)和表兄弟素數對個數T4(x)，得出了T(x)相當於T4(x)的結論。
由於2k＞4之後，沒有布朗常數。受布朗常數的誤導，Marek Wolf 並沒有再深入下去，研究T6(x),T8(x),T10(x),T16(x)等情形。
T8(x),T16(x)是否也與T(x)等價呢？

實際上：
設T2k(x)為不超過充分大的自然數x中的素數對(p, p + 2k)個數。
當k=2^n，且x＞(2k)^2，強弱孿生素數猜想等價。
即：T(x)～T4(x)～T8(x)～T16(x)～T32(x)～T2^n(x)

之後，布朗還創立了(9+9)證明，走到(1+2)，已經找不到方向。
誤導的不是布朗本人，而是對布朗的迷信。

等價數據

x=10000
T(x)=205, T4(x)=203, T6(x)=411, T10(x)=270
T(x)≈T4(x)
T6(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈2*T(x)
T10(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈4/3*T(x)

10000以內的孿生素數對(p, p + 2)個數T(x)與表兄弟素數對(p, p + 4)個數T4(x)近似相等。素數對(p, p + 6)個數T6(x)是孿生素數對(p, p + 2)個數T(x)的2倍，素數對(p, p + 10)個數T10(x)是孿生素數對(p, p + 2)個數T(x)的4/3倍。

x=2013
因32^2＜2013
T(x)=61, T4(x)=65, T8(x)=64, T16(x)=61, T32(x)=60
T(x)≈T4(x)≈T8(x))≈T16(x)≈T32(x)

不超過2013的素數對(p, p + 4) ,(p, p + 8) , (p, p + 16) ,(p, p + 32)個數都近似等於孿生素數對(p, p + 2)個數。

Goldbach猜想與Polignac猜想等價

1 當x=2^n，或p⊥x(2＜p＜√x)，Goldbach猜想與孿生素數猜想等價。即：G(x)與T(x)等價。
G(x)～T(x)～2C*x/(ln x)^2
2 當x的奇素因子p與k的奇素因子p相同，且x＞(2k)^2時，Goldbach猜想與Polignac猜想等價。即：G(x)與T2k(x)等價。
G(x)～T2k(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：當x=2^n*3，2k=6,G(x)與T2k(x)等價。G(x)與素數對(p, p + 6)個數T6(x)等價。
G(x)～T6(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：當x=2^n*5，2k=10,G(x)與T2k(x)等價。G(x)與素數對(p, p + 10)個數T10(x)等價。
G(x)～T10(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：當x=2^n*3*5，2k=30,G(x)與T2k(x)等價。G(x)與素數對(p, p + 30)個數T30(x)
等價。
G(x)～T30(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2

Polignac猜想內部等價

3 當k=2^n，且x＞(2k)^2時，Polignac猜想之間等價。即：T2k(x)與T(x)等價。
T2k(x)～T(x)～2C*x/(ln x)^2
如：孿生素數對(p, p + 2)個數T(x)與表兄弟素數對(p, p + 4)個數T4(x)，素數
對(p, p + 8)個數T8(x)等價。
即：T(x)～T4(x)～T8(x)～T16(x)～T32(x)～T2n(x)～2C*x/(ln x)^2
4 當kn與km有相同的奇素因子p(kn＞km)，且x＞(2kn)^2時，Polignac猜想之間等價。即：T2kn(x)與T2km(x)等價。
T2kn(x)～T2km(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：當k=2^n*3^m，T6(x)～T12(x)～T18(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
當k=2^n*5^m，T10(x)～T20(x)～T40(x)～T50(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
當k=2^n*15^m，T30(x)～T60(x)～T90(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2

因此：Goldbach猜想與Polignac猜想同源，而且等價。

等價性這一發現，可能是一百年來數論史上的重大發現。因為等價性將數論史上的兩大難題統一起來，揭示了二者之間內在的同一性，也揭示了素數分布無序中的有序性。