【数学】有趣的三角形数

三角形数（triangular number）是指一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为“三角形数”。

见图即可分晓：

【图1】

前几个三角形数是：1, 3, 6, 10, ..., n(n+1)/2, ...

其中，n(n+1)/2 是第n个“三角形数”T(n)的值。

显然，求T(n)值的公式，就是一个求算术/等差级数的求和公式。

“三角形数”的性质有：

1】第n个“三角形数”是从1开始的n个自然数的和。

【由算术级数的级数求和公式可得】

2】所有大于3的“三角形数”都不是素数。

【证明：由“三角形数”通项公式T(n) = n(n+1)/2可知，T(n)必有一个因数 n 或 (n+1)，故得证。】

3】任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。

【证明：利用三角形数的通项公式即可证明】

3.1】一种检验正整数x是否三角形数的方法，可计算：

2n+1=[(√8x+1)-1]/2：

--如果(2n+1)是整数，那么x就是第n个三角形数；

--如果(2n+1)不是整数，那么x不是三角形数。

这个检验法是基于上述性质【4】。

4】一部分“三角形数”（3、10、21、36、55、78……）可以用以下公式表示： T(n)=k*(2k+1)；

而剩下的另一部分“三角形数”（1、6、15、28、45、66……）则可以用 公式 T(n)=k*(2k-1) 表示。

【证明：将n分别以偶数和奇数2种情况考虑：

1）当n=2k为偶数时（k>=1），T(n)=2k*(2k+1)/2=k*(2k+1)；

2）当n=(2k-1)为奇数时（k>=1），T(n)=2k*(2k-1)/2=k*(2k-1)。】

5】一个三角数乘以9加上1仍是一个三角数。

【证明：9n/[2(n+1)]+1 = (1/2)*(3n+1)(3n+2)】

6】两个相继的三角形数之和是平方数。

【证明：利用三角形数的通项式即可证明】

7】从1开始的n个立方数的和是第n个“三角形数”的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2）

【证明：参见以下链接里的证明：

https://brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3/#sum-of-the-cubes-of-first-n-positive-integers】