我只能列出我稍微熟悉一点的方向，还有一些个人的解释。

(1)Gromov-Witten 不变量
来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很
多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashbe
rg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual f
undamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某
一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推
广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计
算成为可能。

(2)Selberg-Witten 不变量

(3)Donaldson polynomial
70年代末，ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到
一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2
(n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分，得到了多项式不
变量。具体的很长，可以看他的那本4流形的几何学。

(4)Mirror Symmetry
其中有A_{infinity} algebra, Fukaya Category,
Floer Homology（用来解决了Arnold Conjecture,有很多推广形式),
Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵),
Special Lagrangian submanifold,
Dexxxxation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出来的人的名字了，不过
他曾经用这个做过Index定理的推广)

有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要
认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自
信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。

(5)Hodge Conjecture
这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills
Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations.

(6)Motive
大概是Grothendieck最先提出来，当时为了解决Weil Conjecture,但一个成熟的数学家知
道，为了解决问题而解决问题是没有前途的，很多问题背后是有理论依据的，用一套孤立
的方法来解决一个问题是迟早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背后的整
套理论体系，使得这个猜想只是他的一个小推论。这个目标至今没有实现，Deligne的证明
在G兄看来可能不过是权宜之计，并没有真正解决问题，所以他在1968年说代数几何的当务
之急是证明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(关于Algeb
raic Cycle的）。

(7)Resolution of singularities
这是一项宏伟的工作，特征0的情形被日本数学家Hironaka在60年代初证明，就是那个号称
逻辑结构最复杂的证明，一个证明就拿了Fields Medal。特征p的情形大概只证到3-fold。
现在还是很多人在想办法简化Hironaka的证明，但一直办不到。

(8)Standard Conjecture
现在风风火火的，就是所谓的Motive理论，G兄说它是代数族算术性质的基本理论。