也谈庞加莱猜想

你在一张平的橡皮膜上任意画一个圈——一条封闭的没有“８”字那样自交的曲线。橡皮有弹性，你可以把这个圈变形，变为另一式样的圈，例如变形为一个正方形的边或更令人喜爱的图形——圆。既然在橡皮的世界中圈与圆可以如此变来变去，我们就用圆做圈的代表。变化中总有不变的东西，你发现没有，不管圈如何变，总是把平面分割成两部分这点不变。反过来，如果橡皮平面上的一条闭曲线把平面分割成两部分，那它就是一个没有自交点的圈，方便地说，是一个圆了。只有一个自交点的“８”字式闭曲线已把平面分成三部分，自交点越多分割出的部分也越多。

我们所用的橡皮品质似乎极好，不但能随意拉伸而且能随意压缩，除非动用刀剪之类工具，否则它永远不破。当然，如果你肯用脑子想象，那就不需要去寻找这种世上并不存在的橡皮了。

现在，你想象在橡皮体即３维橡皮空间中作一个球面，这个球面可以变形为坑坑洼洼凹凸不平的闭曲面，所谓闭曲面即一个有界、无边缘的曲面。与平面上的圈一样，球面无论如何变都把空间分割成两部分。但是反过来就与平面圈不一样了，橡皮体中把空间分割成两部分的闭曲面却不一定是球面。一个例子是轮胎面，它是闭曲面、把空间分割成两部分，但你没有办法把它变成球面，因为轮胎面有一个中通的“洞”。不过，索性从“洞”这个东西出发到也可以建立一个判定方法：如果闭曲面没有轮胎面那样中通的“洞”，那它一定是球面。这个办法看上去简单但有一个缺点，要站到闭曲面外面去看。有没有办法直接在闭曲面上面找到判定的办法呢？

你在球面上任意画一个圈，直观上看这个圈都能在球面上缩成一个点，这个性质叫做单连通。球面的单连通性可以说得更严格一些：在球面上挖一个洞，就能把带洞球面变形为平面。球面上任何圈不可能围住整个球面，你在圈外挖一个洞，把带洞球面展成平面，这个圈就变为平面上的圈了。平面圈在平面上有很多办法收缩到一点，对应到球面上，就得到原球面圈收缩到一点的办法。

轮胎面不是单连通的。你在平面上画一个圆，在圆外画一直线，把圆围绕着直线转，使它转出平面成为一个空间图形，就形成轮胎面。在轮胎面上你可以找到两种圈无法收缩到一个点。第一种是开头平面上的圆及其转出的空间中的圆，虽然你可以勒紧轮胎使它的半径缩小，但无法缩到０，否则轮胎内有一圈粘死就不成其轮胎了。第二种是开头圆上每一点绕直线转出的圆，其中包括一个半径最小的圆即圆上离直线最近点转出的圆，也就是贴着轮胎“洞”环绕的那个圆，这种圆也无法收缩到一点，否则轮胎就没有“洞”了。

如果你动手画画这些图形，你会获得一些感觉与经验，你可能会猜测：在３维空间中，闭曲面中可能只有球面是单连通的。换句话说，单连通的闭曲面必定是球面。你的猜测是对的，我们下面尝试说明它。

首先说明一点，３维空间中的闭曲面都有内部外部，有里外两面。你如何去做一个没有里面外面只有单面的闭曲面呢？你可能会做牟比乌斯带：把矩形带两端反向连结起来形成的图形；如果同时把矩形另外两端也反向连结起来，这就形成一个闭曲面叫克莱因瓶。从制作的过程看到，克莱因瓶是一个只有一面的单面闭曲面。但是你在３维空间中做克莱因瓶总是要穿过自身，无法做成，要增加一维在４维空间中才能做成克莱因瓶。克莱因瓶是单面闭曲面制作方法的代表，从此可以看到，在３维空间中不存在单面的闭曲面。

在３维空间中任意取一个闭曲面，因为它有里外两面，我们总可以取到一个半径适当的球面使它能完全放入闭曲面的内部。然后，我们令球面自由扩张，这一点可以想办法做到，比如通过一根管道向球面内部充气或者将闭曲面抽真空让含有空气的球面膨胀。于是，球面扩张到闭曲面的角角落落，有的球面部分贴着闭曲面内壁，有的曲面部分向空的地方隆起延伸，最后布满闭曲面所有的空间。这就发生两种情形：

第一，球面最后形成的曲面没有自己与自己相碰的地方。这表明原闭曲面实际上也是一个球面。

第二，球面最后形成的曲面出现自己碰到自己的地方了。可能有好几个球面隆起的面相碰，我们任取其中两个打通相连，这时球面就不再是球面而变成另一种闭曲面了，你不难看出，这个闭曲面实际上是轮胎面。我们当然可以继续打通其它相碰之处，直到完全变成开头所取的闭曲面，但第一次打通已使我们看到原闭曲面是没有单连通性了。

这就表明，３维空间中的闭曲面要么是单连通的球面，要么是没有单连通性的其它曲面。因此，３维空间闭曲面中只有球面是单连通的，换句话说，３维空间中的单连通闭曲面必是球面。

这个猜测能不能推到４维空间中的３维闭曲面上去呢？这就是有名的庞加莱猜想：在４维空间中，３维单连通闭曲面必定是球面。

在３维球面上打一个洞就能把球面展成３维平面，这使我们看到３维球面的单连通性。３维轮胎面可以这样来形成，在４维空间的３维平面中取一个２维球面及球面外一直线，使球面绕着直线转并转出３维空间、转到４维空间中去，如此形成的曲面即为３维轮胎面。因此，３维轮胎面也有一中通的“洞”，同２维轮胎面一样，曲面上围绕“洞”的那个圆就没有办法在轮胎面上缩为一点。

仿照３维空间的情形，我们也可以这样说明庞加莱猜想的正确性。首先，４维空间中不存在单面的即没有内外的３维闭曲面，如果存在，你把这个曲面投影到某一３维空间中去就得到３维空间的单面的２维闭曲面了，这就导出矛盾。这样，对于４维空间中任意一个３维闭曲面，因为它有里面外面，我们总可以取到一个半径适当的３维球面使它能完全放入闭曲面的内部。然后，我们令球面自由扩张，让球面扩张到闭曲面的角角落落，有的球面部分贴着闭曲面内壁，有的球面部分向空的的地方隆起延伸，最后布满闭曲面所有的空间。这也发生两种情形：

第一，球面最后形成的曲面没有自己与自己碰到的地方。这表明原闭曲面实际上也是一个３维球面。

第二，球面最后形成的曲面出现自己碰到自己的地方了。可能有好几个球面部分相碰，我们任取两个打通相连，这时球面就不再是球面而变成另一种闭曲面了。不难看出，这个闭曲面实际上是３维轮胎面。我们当然可以继续打通其它相碰之处，直到完全变成开头所取的闭曲面，但第一次打通已使我们看到原闭曲面是没有单连通性了。

这就表明，４维空间中的３维闭曲面要么是单连通的３维球面，要么是没有单连通性的其它曲面。因此，４维空间３维闭曲面中只有３维球面是单连通的，换句话说，４维空间中的３维单连通闭曲面必是球面。

如果你有兴趣，你可以考虑更高维数空间的庞加莱猜想，它们像４维空间的庞加莱猜想一样，已经被人们证明都是对的。

（后记：本来应该由数学家来写这样的文字，可是他们在忙于它事。笔者不揣浅陋补此大白。２００６年９月２６日）

HXWZ (06-09-28)