目前中文网上一个比较热门的话题是庞加莱猜想的解决。粗看起来很奇怪，网上热门的
话题一般是政治，体育或８２２８似的八卦。这抽象的数学猜想怎么会热起来？仔细看
看就发现因为这新闻里有两个中国数学家，算是与政治挂上了钩。又因为牵涉到丘成桐，
就有了点八卦的味道。再加上这里面牵涉到的竞争不比体育比赛差。这么多条件都具备
了，要想不热也难。于是这抽象的数学猜想就在中文网上热起来。事实上大多数参加讨
论的人并不是完全懂得庞加莱猜想的真正内容，但这并不妨碍大家的讨论。我自己是学
数学的，也曾搞过几何拓的东西，乘这话题还没有冷，也出来凑个热闹。
庞加莱猜想从数学上严格地讲起来要牵涉到基本群，同胚，紧致流形等概念，比较麻烦。
用大众语言简单说起来就是没有洞的有限几何体（紧致流形）等同于球面。这猜想在一，
二维的情况很简单。因为一维的紧致流行只有圆，二维的紧致流行由亏格唯一确定，也
没什么好说的。三维的情况就很难了，而且不是一般的难。庞加莱提出这个猜想后半个
世纪没有大进展。虽然其间有许多人（包括一些著名数学家）宣布自己找到了证明，但
很快就被人发现了漏洞。后来大家都很小心，轻易不敢说自己解决了这个问题。直到六
十年代问题才开始有了比较大的突破。有人想三维不能解决，看更高维的情况行不行。
ＳＴＥＶＥ ＳＭＡＬＥ解决了高维中Ｎ＞＝５的情况。后来ＦＲＥＥＭＡＮ又解决了
Ｎ＝４的情况。他们两人都为此得了数学界的最高奖菲尔兹奖。绕了一圈最后又回到了
Ｎ＝３这块硬骨头。
一般人可能觉得有点不好理解，为什么高维的情况反到容易解决。大致说起来，当维数
很低的时候（比如Ｎ＝１，２），情况比较直观，解起来很容易。当维数很高时（比如
Ｎ＞＝５），条件比较多，空间的限制也比较多，唯一确定就比较容易。在维数不大不
小的时候，情况反而最复杂。类似的情况在数学上还有别的例子。比如除了Ｎ＝４，任
意欧氏空间（Ｒ＾Ｎ）都只有唯一的微分结构，但Ｎ＝４时，Ｒ＾４上却有无数的微分
结构。
很长一段时间Ｎ＝３的情况都没有什么新进展，直到１９８２年ＨＡＭＩＬＴＯＮ发明
了ＲＩＣＣＩ流的方法，Ｎ＝３的情况才开始有了突破，至少人们看到了解决问题的一
个新的方向。从前搞几何的人都是以纯几何的方法搞几何。比如苏步青那一批，一大堆
张量指数搞得你眼花潦乱。后来丘成桐用偏微分方程的方法解决几何问题，算是开创了
几何分析的先河。我在北京读研究生的时候正好是丘成桐得菲尔兹奖不久，中国数学界
几何突然热起来。搞方程的人去学几何，搞几何的人去学方程，大家都学非线性泛函。
到处都是几何方面的学术会议，讨论班。南开的，复旦的，我们这些研究生都去凑热闹，
也算是公费旅游。当时最著名的是香山署期讨论班，全国这方面的尖子学生都跑来了（
包括田刚）。后来在美国数学搞得很好的人中，有不少都是当年香山讨论班出来的。扯
远了，还是回头讲ＲＩＣＣＩ流。
ＲＩＣＣＩ流走的也是偏微分方程的路子。在大家不知道如何往前时，ＲＩＣＣＩ流给
大家指明了方向。ＨＡＭＩＬＴＯＮ等沿着ＲＩＣＣＩ流向前走，扫除了前进路上的不
少障碍。可惜走了一阵就走不动了。因为顺着ＲＩＣＣＩ流走到了极点（奇异点），没
有方向了。实际上现在大家关心的已经不仅仅是庞加莱猜想，而是更广泛的ＴＨＵＲＳ
ＴＯＮ猜想。ＴＨＵＲＳＴＯＮ把三维流形分为八类，其中一类就是球面。解决了它就
含带解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想的解决在奇异点停了下来。直到２００２－２００３
年ＰＥＲＥＬＭＡＮ提出他有办法解决奇异点问题，并写出了大纲，据说是沿着这个大
纲就可以解决庞加莱猜想。他的大纲有很多创新，而且这些创新还可以用到别的问题的
解决之中。算是对数学做出了突出贡献，因此今年的菲尔兹奖给了他一份。ＰＥＲＥＬ
ＭＡＮ是不世奇才，牛人一个。据说他拒绝接受菲尔兹奖。关于他的故事可以另写一大
篇文章，网上很多，我就不在这里抄书了。
庞加莱猜想热起来的主要原因是因为有争议。争议最大的是ＰＥＲＥＬＭＡＮ的大纲，
这大纲究竟算不算完整证明。大纲出来后，别人看不太懂。甚至有人去电邮直接了当的
问Ｐ“你是不是说根据你这些东西就可以证明庞加莱猜想”，他的回答很简单：“是的”。可
是，按照传统，完整的证明必需每一部都写得清清楚楚，不能有含糊的地方。Ｐ的大
纲有很多跳跃，不清楚的地方很多，如果拿它去答卷，一定不能算通过。但大纲给出了
整个证明的思路，尤其是关键地方都有前人想不到的突破，如果这些跳跃都能通过，这
大纲就应该算是解决了问题，算不算证明就不重要了。这些跳跃间到底有没有问题，不
同的人有不同的看法。Ｐ的大纲刚出来后，我正好有幸与ＪＯＨＮ ＭＩＬＮＯＲ单独
吃过一顿午饭。他是几何大师并得过菲尔兹奖，除了谈别的以外，我就顺便问了他关于
Ｐ的证明，他说他认为Ｐ的证明可以ＨＯＬＤ ＷＡＴＥＲ。也就是说证明可行，即使
有漏洞也是可补的小漏洞。当然也有丘成桐这样的也得过菲尔兹奖的大师说Ｐ的大纲不
能算完全证明。大家各持己见。
现在的情况有点象爬山。大家看着一个高峰无从下手，不知从哪里上。这时过来一个登
山高手（Ｐ）给大家指出几个可以打桩的地方。这些地方连起来依稀就是一条上山的路
线。常人看见这些桩打得太远，说是跳不过去。但登山高手臂力大，弹跳好，认为这些
桩足够了。这就出现了分歧。显然，除了Ｐ本人以外，别的人基本都没觉得这些桩与桩
之间可以轻易跳过。否则也不需要一大堆人（都是世界一流登山高手）研究好几年都不
敢下结论。大家觉得最好的办法是实地走一走。于是中国的两个登山高手曹朱在Ｐ打的
四十多个桩之间又打了三百多过小桩（据说这里面还有好几个大桩），走到了顶峰。看
起来这应该说明Ｐ指的上山路线是可行的。但据说曹朱打的几个大桩在登山过程中也起
到了很大的作用。这作用的大小不同的人有不同的看法。按国际数学大会给Ｐ发菲尔兹
奖的说明材料，别人的工作只是在验证Ｐ的思路。我个人认为这有点不公平，或者说把
曹朱他们的工作看得太轻。任何事情都有个度量，如果Ｐ的四十多个桩可以认可，那么
少一个桩可不可以？少两个可不可以？三十几个可不可以？缺的那些桩都可以由别人补
上。如果走到极限，我们甚至还可以说ＨＡＭＩＬＴＯＮ的ＲＩＣＣＩ流早就给出了上
山方向，别人的工作（包括Ｐ）只是在验证Ｈ的思路。如果说Ｈ的思路有走不通的地方，
Ｈ也可以几年不理，让别人去走。现在走通了说明Ｈ的思路正确。当然，这只是我的很
极端的比喻，只是想说明任何事都有个度量，怎样说明Ｐ的四十多个桩子就是恰到好处，
这应该只有有一定级别的登山高手可以判定。不过，丘成桐说曹朱的工作有３０％的份
量，我又觉得说得太重。在大家完全没有方向时，Ｐ出来给大家指出了方向，而且现在
看来是可行的方向，光这一点就应该占一大半的份量。再分一些给Ｈ，曹朱是不应该有
３０％的。我个人觉得比较公平的份量应该是１０％左右。然而，由于丘成桐的抢功，
大家在纠正丘的夸大时又矫枉过正，把曹朱的工作说得一钱不值。反而使他们失去了应
该得到的份量。这是我个人的看法。我的看法当然不重要（或者说完全不重要），重要
的是那些登山高手们怎样看。据说有登山高手（包括Ｈ）说曹朱打的桩子也有创造性。
这就够了，能够先于所有人成功地登上顶峰（哪怕是用了别人打好的桩子），而且被许
多同行承认有创造性，这就很了不起了。作为数学家应该可以满足了。这理要补充说明
一下，另外还有两个登山队也顺着Ｐ的桩子独立地登上去了，同样也打了好几百个小桩
子。
网上讨论的另一个话题是：庞加莱猜想与哥德巴赫猜想哪个更重要。由于徐迟的报告文
学，中国人对可德巴赫猜想可算是情有独中。科学的皇冠，皇冠上的珍珠。当丘成桐说
庞加莱猜想比哥德巴赫猜想更重要时，许多人就不高兴了。庞加莱猜想怎么能比皇冠上
的珍珠更重要呢？一般来说，数学上不同领域的东西很难比较，因为不太容易建立参照
系，除非有明显的差别。比如九点圆定理与代数基本定理，虽然一个几何，一个代数，
但后者要比前者重要的多的多。庞加莱猜想与哥德巴赫猜想都是著名猜想，从知名度来
说很难分出高下（在中国人中，哥比庞更大）。但另外有几个参照系可以用。一个是看
业内人士对它的重视程度。从这点来讲，庞加莱猜想比哥德巴赫猜想要大。庞加莱猜想
的几个特例的解决都被授与菲尔兹奖，加上最后这一次，一共三枚。而哥德巴赫猜想从
王元潘承洞的１＋５，１＋４到陈景润的１＋２最多就是陈被邀请到国际数学大会作４５
分钟报告。另一个差照系就是看其所用的方法能否对别的题目有用。以我看，筛法大概
是筛不出什么新名堂了，但这ＲＩＣＣＩ流大概还可以流一阵。另外还有一个参照系就
是结果的应用。哥德巴赫猜想研究的是一个比较孤立的问题，我看不出它在别的方面的
应用。庞加莱猜想研究的是三维空间的一般几何体，被应用到别的学科（尤其是物理）
可能性比较大。
除了古时候的初等数学以外，现代抽象数学定理要应用到别的学科一般都要等很长时间。
黎曼搞的微分几何开始看不出用处，后来却成了相对论不可缺少的工具。庞加莱猜想现
在还看不出实际可应用的地方，但以后对宇宙的理解有用是很有可能的。因为我们生活
在三维空间里，对三维空间里的几何体（包括宇宙本身）的理解是很重要的。所以，丘
成桐关于庞加莱猜想的演讲可以放到国际超弦会议上去讲。虽然按超弦理论，我们生活
的时空有可能是１０维的，甚至２６维的。但看得见的时空还是四维的（三维空间加一
维时间），所以三维对我们很重要。
各个参照系比下来，如果要让我投票，我还是投庞加莱猜想一票。
网上有些关于这个话题的文章加进了不少个人攻击成分，甚至把其它地方的纠纷也加了
进来，这就没有必要了。Ｐ的大纲出来好几年了，这其间许多一流数学家都在努力研究，
试图跳过大纲所空出来的间隙。别人没看懂以前，曹朱看懂了。不管是创新也好，帮人
验证也好。别人没做出来以前，曹朱做出来了。这就很了不起，中国人应当为他们感到
骄傲。我为他们感到骄傲。
