质数似乎分布得毫无规律。多少超级聪明的数学家呕心沥血一生研究质数，却毫无建树。

但是，一个数学家一旦在质数研究方面有所建树，他也会因而名声大噪。1737年，Euler发表了他著名的乘积公式：

1/(1 - 2^(-s))*(1-3^(-s))*(1-5^(-s))*(1-7^(-s))*(1-11^(-s))*(1-13^(-s))(1-17^(-s))...=1+2^(-s)+3^(-s)+4^(-s)+5^(-s)+...

公式的左边涉及所有质数，而右边涉及所有正整数。

我们可以用一个简单的方法验证一下。设右边为Z(s)，那么(2^(-s))*Z(s)=2^(-s)+4^(-s)+6^(-s)+8^(-s)+10^(-s)+...。因此，Z(s)-(2^(-s))*Z(s)就把Z(s)里所有2的倍数的项都销掉了。所以

(1-2^(-s))*Z(s)=1+3^(-s)+5^(-s)+7^(-s)+9^(-s)+...

现在我们重复这个做法。将此式两边乘3^(-s)，再将结果从此式两边减掉，(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)就不包含任何3的倍数项了：

(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)=1+5^(-s)+7^(-s)+11^(-s)+13^(-s)+...

如果我们重复这个做法，将此式两边乘以每个质数的(-s)次方，再将结果从此式两边减掉，结果就不包含任何该质数的倍数项了。我们发现

...(1-11^(-s))*(1-7^(-s))*(1-5^(-s))*(1-3^(-s))*(1-2^(-s))*Z(s)趋向于1!

取s=2, 这个式子就变成了

[2/(2*2-1)]*[3/(3*3-1)]*[5/(5*5-1)]*[7/(7*7-1)]*[11/(11*11-1)]...=1+(1/2*2)+(1/3*3)+(1/4*4)+(1/5*5)+...=Pi*Pi/6

一下子，“杂乱无章”的质数乘出了个与圆周率有关的结果。

质数还“杂乱无章”吗？显然不是。（待续）