从０的阶乘等于１说起

学过一点算术的人都知道，０不能做除数。　这里的除数就是分母的角色，也就是说０不能做分母。这恐怕是学习数学中遇到的第一道坎。如果过不了这道坎，后面的数学就可能更难。像以往一样，我这里说的是纯数学中的基础部分；其他很多专业里也需要懂得这一点。

到了一定的程度，我们需要用到０的阶乘。首先，我们说说什麽是“N的阶乘”。　这个“N”其实几乎可以是任何数，甚至N可以是几乎任何复数。

自然数有无穷个，这里就不说了。 我们先谈N是自然数（也就是正整数）的情形。如果N是一个自然数，　那么N的阶乘定义为从１到这个N之间（包括N）的所有自然数的乘积。比如N=5，那么５的阶乘就是　５！＝（１）（２）（３）（４）（５）。这里“５！”就是５的阶乘之标准记号；例外为了在网上的方便我用了括号来表示乘积。比如，（２）（３）就是２与３的乘积。使用这个定义和记号，我们就有５！＝１２０。

推而广之，为了方便数学中要用到归纳定义。　就是说１！＝１，然后如果N>1那么N!＝（N）（N-1)!。请读者注意，这里阶乘比乘法优先，就是说我们先算出（N-1)!然后乘以N就得到N的阶乘N!。这一点很可能是数学中的又一道坎，我们必须要想到N可以是任何一个比1大的数。

对于学数学的人，不管你升学考多少，我这里提到的两道坎没有商量的余地。过不了这种类似的坎，继续搞数学就可能不再是适当的选择；　当然我指的是纯数学。数学教育与应用数学可以适度地让步。

回到前面提到的归纳定义。　归纳定义的好处是我们不必（也不可能）写出无穷个式子，而从上面这个公式中可以得到任何N的阶乘。 也就是说，只要我们有了（N-1)!， 我们就有了N!。

我们还没有定义0的阶乘，上面的定义不能用。怎么知道0的阶乘呢？ 这么说吧，我们有了

2！=（2）1！，记住这里中间的乘号没有写出，在上面用过的括号也为了看起来舒服而省略了。然后，我们也有3！=（3）2！，4！=（4）3！。 这就是从对应一个小一号的数求出阶乘就可以对应这个紧跟着的大一号的数之阶乘。

我们把公式倒过来，就有3！=4！/4，这里记号“/”是指除法或者说我们用了分数。 接下去，我们还有2！=3！/3，1！=2！/2。窍门就在这里，后一个等式可以通过把前一个等式里每一个数减少１来得到。我们把这一段的三个等式一直往0推，就发现我们应该有0！=1！/1才好。 如果是这样，我们不就有了0！=1了嘛！

这个不是很严格，我们还有别的办法来严格地说明为什麽要定义0！=1为好。 一般来说，数学中引进一个新的慨念，主要是看它是否与其他的东西相匹配。就是说不产生逻辑上的混乱，而是要保证逻辑上的一致性。

这个问题就只说到这里。 现在由此说开去，可以涉及到很高深的数学。 我在前面已经提到这个N甚至可以几乎是任何复数。简单点说，我们希望把没有对其定义阶乘的任何数，都要考虑是否可以定义一个阶乘。比如0.5=1/2的阶乘是多少？ 直观上，这个问题可笑了，但是逻辑上我们还非得这么做不可。 而且答案可能有好多好多种，其中最常用的叫做欧拉伽傌函数。这里不方便用伽傌记号，我就还是用这个感叹号。

对于自然数N，我们已经定义了N!。推广以后，我们得到1/2的阶乘等于Pi（这个Pi是大家都知道的那个叫做圆周率的数，大约等于３.１４１５９……）的平方根再除以2，有点奇怪吧！这个新的阶乘对任何正数都有定义，然后就推广到对几乎所有的复数也有阶乘的定义。这个叫做欧拉伽傌的函数有着非常重要的用途。

在结束这篇日志的时候，我告诉网友们一个有一点点类似方法定义的函数。叫做黎曼zeta函数，这里zeta是一个希腊字母。这个函数是这样定义的，请网友耐心因为很有点麻烦。　首先我们用N与上面一样，记住N几乎可以是任何复数。　不懂复数的就只说N是几乎任何实数就是了。　这一次，我们要考虑N次方；而且是任何自然数的N次方。我们用３^2表示３的２次方，　这个“^”就表示“次方”。先有1^N, 2^N, 3^N, 4^N,　一直到所有自然数的N次方，然后把这所有的N次方给全部加起来，把这个加起来的“和”叫做黎曼ｚｅｔａ函数。这与阶乘里把所有的数乘起来类似，只是那里是有限个数乘起来，这里是无穷个数（每个数是一个N次方）加起来。对此我只能点到为止，因为恐怕超过了绝大多数网友的期待。

这里提到的欧拉伽傌函数与黎曼ｚｅｔａ函数都是非常重要的特殊函数。它们都是数学分析范围里的复变函数，就是复数作为变量，而得出的结果也是复数的函数。把这两个函数逻辑性地揉在一起，就得到新的一个函数叫做黎曼ｘｉ函数。它们在数论研究中占有非常重要的位置，属于解析数论的核心部分。不管是研究这中间任何一个函数，还是合起来研究它们在数论中的应用，都是数学中非常重要的领域。这里的研究对于整个数学甚至整个科学领域都有着不可估量的重大影响。