第二十二章﹕再回魔鬼聚合物

再继续一段费根鲍姆的故事。

当时的费根鲍姆太乐观、太自信了。当他将有关这两个常数的论文寄给物理期刊后，两篇文章却都遭遇被审稿者们弹回而退稿的命运，不过，费根鲍姆并不气馁，仍然心无旁骛，继续深究，直到3年之后，人们对混沌现象了解更多了，思考更成熟了，学术界才逐渐认识到费根鲍姆这个工作的重要性，于是，费根鲍姆的论文得以发表，他本人也身价倍增，被曾经做过两年临时助理的康奈尔大学聘回去当教授。“十年寒窗无人问，一举成名天下知”，学术界也是世俗社会的缩影，人性使然，社会现实，如此而已，毫不为怪。

林童讲完了费根鲍姆的故事，大家边听边议论，感慨费根鲍姆用一个简单的计算器就作出了混沌理论中的一个重大发现。张三说，现在，计算机的图像显示功能这么好，我经常把这个分岔图放大来放大去，玩来玩去的，但对其中隐藏的这个普适规律却熟视无睹，可见，作出科学上的重大发现，并不是一定要有最好的研究条件和设备，还是人的因素第一，重在独立思考呀。

当费根鲍姆自己谈到他的这个发现时曾经半开玩笑地说过：“我对分岔速度几何收敛的猜想，是逼出来的。”他的意思是说，当时他的计算器算得很慢，如果想要画出一个较为细致的分岔图，是不现实的。比如，像我们现在这样，用计算机编程，对每一个离得不远的k值，我们都要用逻辑斯蒂方程作几百次迭代运算，才能画出分辨率颇高的倍周期分岔图。现在的手提电脑，完成整个计算任务，顶多几分钟就够了，但用他的HP-65计算器，恐怕要算好多天。因此，费根鲍姆被‘逼’着动脑筋想办法，因为他感兴趣的只是分岔点，所以只需要在每个分岔点附近的几个k值作迭代就可以了，并不需要对所有的k值作迭代。于是，费根鲍姆被逼着研究分岔点之间的规律，试图从一个分岔点预言下一个分岔点的位置，这样就可以直接跳到下一个分岔点附近作计算，大大节约运算的时间。换句话说，计算器速度太慢的困难迫使费根鲍姆领悟到并利用了分叉间距的几何收敛性，也同时导致了费根鲍姆常数的发现。试想，如果当时费根鲍姆利用的是大型高速电子计算机，没准儿他就与这个重大发现擦肩而过了。

开始时，费根鲍姆以为他的常数可以用别的已知常数表示出来。比如p、e……等等著名常数，但是凑了好多天也没有凑出任何结果。费根鲍姆想，难道这是反映混沌世界出现的两个特别常数？如果只是与有序到混沌的过程有关，那么，除了逻辑斯蒂系统之外，在别的系统，混沌魔鬼是不是也按照这个规律出现呢？想到这儿，费根鲍姆再一次拿起了他的宝贝计算器，对另一个简单的非线性系统（正弦映射系统）：

x_n+1 = k sin(x_n)                          （22.1）

产生混沌的倍周期分岔过程作研究。

图（22.1）：更多的倍周期分岔混沌系统

对正弦映射系统倍周期分岔过程的计算结果让费根鲍姆激动不已，因为结果表明：正弦映射系统中的混沌魔鬼，与逻辑斯蒂系统的混沌魔鬼，遵循着一模一样的规律。它们诞生的速度比值中都有一个同样的几何收敛因子：

d = 4.669201609……

分岔后的宽度也和逻辑斯蒂系统的分岔宽度，遵循同样的几何收敛因子而减小：

α= 2.502907875……

正弦映射和逻辑斯蒂映射的迭代函数完全不一样，一个是正弦函数，另一个逻辑斯蒂映射，是二次的抛物线函数

（x_n+1= kx_n·（1-x_n）），                 （22.2）

但是，两个系统中的混沌魔鬼却以同样的速度诞生！这个奇妙的事实说明，d和α两个费根鲍姆常数与迭代函数的细节无关，它们反映的物理本质应该是只与混沌现象、或者说是只与有序到无序过渡的某种物理规律有关，这就是学术界最后所领悟到、不得不承认的“费根鲍姆常数的普适性”。简单的HP-65计算器的确功劳不小，1982年，费根鲍姆被聘为康奈尔大学教授。1986年，费根鲍姆获得沃尔夫物理奖，同一年，他受聘为洛克菲勒大学教授，直到如今。

之后，各行业的专家们研究了更多动力系统的倍周期分岔现象，其中包括洛伦茨系统、逻辑斯蒂系统、正弦映射、Hénon映射、Navier-Stokes映射、电子混沌电路、钟摆等等，我们在图（22.1）中列出了其中的一部分。人们发现，只要是通过倍周期分岔而从有序产生混沌的过程，都符合费根鲍姆常数所描述的规律。不过，对费根鲍姆常数更深一层的物理本质，似乎仍然知之甚少，科学家们仍在努力探索中。此外，从有序过渡到无序的过程，除了通过倍周期分岔之外，还有三周期分岔、多周期分岔，以及别的途径，这些理论还不十分清楚，都有待人们去研究和发掘，这是一个值得人们去探索、耕耘的新领域。

费根鲍姆常数也出现在曼德勃罗集美妙的图形中，那个被曼德勃罗自己称之为“魔鬼聚合物”的图形，将逻辑斯蒂映射中的魔鬼聚合在它的实数轴上。见图（22.2）：

图（22.2）：倍周期分岔图和曼德勃罗集

实际上，逻辑斯蒂系统的迭代方程（22.2）可以很容易地变换成同为二次函数的曼德勃罗集迭代方程：

x_n+1 = x_n·x_n + c；                   （22.3）

不过这儿的c只取实数值。当c值从-2变到1/4时，用曼德勃罗集的公式（22.3）进行迭代，并将对应于每一个c值的、迭代100次到200次的结果用黄色点表示出来，便能得到如图（22.2）左上图所示的、和从逻辑斯蒂迭代所得到的、一模一样的倍周期分岔图。

图（22.2）中连接上下两图的白色竖线表示逻辑斯蒂分岔和曼德勃罗集之间的关联，白线下端的数字对应于曼德勃罗集中不同的复数C的实数值。

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