数学家的困惑：强弱孪生素数猜想竟然等价

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2013年5月，张益唐在哈佛大学作报告率先证明“弱孪生素数猜想”的同时，法国高等师范学校教授Harald Helfgott在网上宣称间接证明了弱哥德巴赫猜想：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇素数之和，有望彻底解决三素数定理。之后，2006年菲尔兹数学奖得主陶哲轩所在的playmath小组迅速跟进。

半年之后，2013年11月19日，陶哲轩小组和蒙特利尔大学的博士后James Maynard几乎同时宣布：已将张的界限推进到600。

2013年，是世界数学界的素数年。

孪生素数猜想：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。即孪生素数(p, p + 2)有无穷多对。
1849年，法国数学家Polignac提出了一般的猜想，即波利尼亚克猜想：对所有自然数k存在无穷多个素数对((p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

张益唐应用GPY结论破译的弱孪生素数猜想，其实是波利尼亚克猜想中当k＜3500万，2k＜7000万 的弱形式。k=1,即孪生素数猜想。

2005 年, Goldston, Pintz and Yildirim(GPY) 使用常规手段Selberg 筛法与 Bombieri-Vinogradov定理，结合一些新的组合数学的方法，证明了下面的突破性的定理：
对任意ε>0, 存在无穷多对不等的质数 p,q, 使得
|p-q|<ε*log p.
G和Y稍早时候的一些思想在Green和陶哲轩的存在任意长等差素数的重大结果中起到了作用；陶哲轩凭这一结果获得了2006年的菲尔兹奖。
之后，出人意料的是，张益唐独辟蹊径，发现了一个惊人的结果：存在无穷对素数 p,q, 使得
|p−q|<7*10^7.

孪生素数猜想首先从波利尼亚克猜想取得突破，出乎数论学家的意料。
当陈证明(1+2)时，有人说：离皇冠上的明珠，只一步之遥。
当张证明7000万时，有人说，距离解决仅仅一个发丝的距离。
谁能最终走出只能逼近，无法成功的怪圈？

GPY在得知张的结论时断言：应用张的方法最多只能将界限推进到16，不可能推进到2。即：用张的方法不可能证明孪生素数猜想。

即使界限推进到2，即孪生素数猜想，也只能解决波利尼亚克猜想是否成立，而不能解决波利尼亚克猜想素数对有多少问题，只能定性证明而不能估算。即不能给出波利尼亚克猜想表达式。难怪老张在接受媒体采访时表示下一步会研究哥德巴赫猜想。

说到孪生素数猜想，不能不提哥德巴赫猜想：任一大于6的偶数都可表示为二个素数之和，即( 1+ 1)。

数学家认为：哥德巴赫猜想与孪生素数猜想同源。

孪生素数猜想：世界上最远的距离，不是7000万到无穷大的距离，而是彼此相邻，却永远无法走到一起。哥德巴赫猜想：世界上最远的距离，不是无穷大的距离，而是彼此相对，却得不到社会的认可。

自哈代以来，数论学家的成就很少超过哈代的。因为哈代给出了孪生素数猜想和哥德巴赫猜想偶数公式，哈代的理论成了数论圣经。但是，哈代并没有给出波利尼亚克猜想公式。一百年来，关于孪生素数猜想公式和哥德巴赫猜想偶数公式的研究没有丝毫进展。

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的孪生素数强化版猜想：强孪生素数猜想。
设T(x)为不超过充分大的自然数x中的孪生素数对个数，T(x)～2C*x/(ln x)^2。
1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了哥德巴赫猜想偶数公式。
设G(x)为大偶数x中可以表示为(1+1)的素数个数，G(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2＜p＜x,p|x)。
其中：C=∏(1-1/(p-1)2) (2＜p＜x)，p是素数。∏为连乘符号。

C即著名的拉曼纽扬孪生素数常数，2c的极限值：1.32032236316937。这是印度伟大的数学家拉曼纽扬，通过特异感觉功能发现的。国内外数学家都不清楚拉曼纽扬常数是怎么得来的，但是，都承认和用这个常数。

本人认为，哥德巴赫猜想与波利尼亚克猜想同源，而且等价，二者可以统一。由(1+1)素数和孪生素数的起源，不难发现这一点。因此推出了波利尼亚克猜想公式以及两个猜想之间等价的条件。

设G(x)为大偶数x中可以表示为(1+1)的素数个数，G(x)=2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x)) (2＜p＜√x,p|x)
或G(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2＜p＜√x,p|x)
设T(x)为不超过充分大的自然数x中的孪生素数对个数，T(x)=2C*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x))
或T(x)～2C*x/(ln x)^2
设T2k(x)为不超过充分大的自然数x中的素数对(p, p + 2k)个数，T2k(x)=2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2(1＋O(2/ln x)) (2k＜√x,2＜p＜√x,p|k)
或T2k(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2 (2k＜√x,2＜p＜√x,p|k)
其中：C=∏(1-1/(p-1)2) (2＜p＜√x)，p是素数。O(2/ln x)是大O符号，表示误差项的渐进上界。ln x为x的自然对数。～为等价符号，通俗的说法即近似相等。

可以看出：
波利尼亚克猜想公式与哈代哥德巴赫猜想偶数公式形式上相似，只不过是是将x的奇数因子p转换为k的奇数因子p。当x=2^n，哥德巴赫猜想与孪生素数猜想等价，这个特例数学家都知道。哈代和数学家怎么会不知道二者之间的转换呢？这是因为，如果将哈代哥德巴赫猜想偶数公式转换为波利尼亚克猜想公式，以为是自相矛盾。

如：孪生素数对个数T(x)与表兄弟素数对(p, p + 4)个数T4(x)，素数对(p, p + 8)个数T8(x)，T16(x)，T32(x)，T2^n(x)会等价，即：强弱孪生素数猜想等价。素数对(p, p + 6)个数T6(x)与T36(x)，T216(x)，T6^n(x)等价，即Polignac猜想内部等价。

太不可思议了。自相矛盾吗？不是！而且本来如此。条件是：x＞(2k)^2。

如果强弱孪生素数猜想等价性获证，只需在600到7000万之间，任取2k=2^n，如2k=1024。根据等价性，当x＞10242时，T(x)与T1024(x)等价。T1024(x)有无穷多对已证，则T(x)也有无穷多对。

孪生素数猜想因此获证。

布朗常数的误区

布朗常数B2(孪生素数倒数和)：B2 ≈ 1.902160583104
布朗常数B4(表兄弟素数倒数和)：B4 ≈ 1.1970449
布朗定理：发散必无穷，收敛不知道。

其实，发散只是无穷的充分条件，不是必要条件。无穷未必发散。
1996年，Marek Wolf 验证了1012(一万亿)以内的孪生素数对个数T(x)和表兄弟素数对个数T4(x)，得出了T(x)相当于T4(x)的结论。
由于2k＞4之后，没有布朗常数。受布朗常数的误导，Marek Wolf 并没有再深入下去，研究T6(x),T8(x),T10(x),T16(x)等情形。
T8(x),T16(x)是否也与T(x)等价呢？

实际上：
设T2k(x)为不超过充分大的自然数x中的素数对(p, p + 2k)个数。
当k=2^n，且x＞(2k)^2，强弱孪生素数猜想等价。
即：T(x)～T4(x)～T8(x)～T16(x)～T32(x)～T2^n(x)

之后，布朗还创立了(9+9)证明，走到(1+2)，已经找不到方向。
误导的不是布朗本人，而是对布朗的迷信。

等价数据

x=10000
T(x)=205, T4(x)=203, T6(x)=411, T10(x)=270
T(x)≈T4(x)
T6(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈2*T(x)
T10(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈4/3*T(x)

10000以内的孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)与表兄弟素数对(p, p + 4)个数T4(x)近似相等。素数对(p, p + 6)个数T6(x)是孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)的2倍，素数对(p, p + 10)个数T10(x)是孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)的4/3倍。

x=2013
因32^2＜2013
T(x)=61, T4(x)=65, T8(x)=64, T16(x)=61, T32(x)=60
T(x)≈T4(x)≈T8(x))≈T16(x)≈T32(x)

不超过2013的素数对(p, p + 4) ,(p, p + 8) , (p, p + 16) ,(p, p + 32)个数都近似等于孪生素数对(p, p + 2)个数。

Goldbach猜想与Polignac猜想等价

1 当x=2^n，或p⊥x(2＜p＜√x)，Goldbach猜想与孪生素数猜想等价。即：G(x)与T(x)等价。
G(x)～T(x)～2C*x/(ln x)^2
2 当x的奇素因子p与k的奇素因子p相同，且x＞(2k)^2时，Goldbach猜想与Polignac猜想等价。即：G(x)与T2k(x)等价。
G(x)～T2k(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：当x=2^n*3，2k=6,G(x)与T2k(x)等价。G(x)与素数对(p, p + 6)个数T6(x)等价。
G(x)～T6(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：当x=2^n*5，2k=10,G(x)与T2k(x)等价。G(x)与素数对(p, p + 10)个数T10(x)等价。
G(x)～T10(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：当x=2^n*3*5，2k=30,G(x)与T2k(x)等价。G(x)与素数对(p, p + 30)个数T30(x)
等价。
G(x)～T30(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2

Polignac猜想内部等价

3 当k=2^n，且x＞(2k)^2时，Polignac猜想之间等价。即：T2k(x)与T(x)等价。
T2k(x)～T(x)～2C*x/(ln x)^2
如：孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)与表兄弟素数对(p, p + 4)个数T4(x)，素数
对(p, p + 8)个数T8(x)等价。
即：T(x)～T4(x)～T8(x)～T16(x)～T32(x)～T2n(x)～2C*x/(ln x)^2
4 当kn与km有相同的奇素因子p(kn＞km)，且x＞(2kn)^2时，Polignac猜想之间等价。即：T2kn(x)与T2km(x)等价。
T2kn(x)～T2km(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如：当k=2^n*3^m，T6(x)～T12(x)～T18(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
当k=2^n*5^m，T10(x)～T20(x)～T40(x)～T50(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
当k=2^n*15^m，T30(x)～T60(x)～T90(x)～2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2

因此：Goldbach猜想与Polignac猜想同源，而且等价。

等价性这一发现，可能是一百年来数论史上的重大发现。因为等价性将数论史上的两大难题统一起来，揭示了二者之间内在的同一性，也揭示了素数分布无序中的有序性。