一些物理和数学中基本概念的直观理解

我们经常读到物理学和数学中的基本概念和基本结果，如果我们不是正好在那个专业，很难理解。 下面， 我想直观地描叙一些基本概念。我于物理，数学均是外行，请大家多多指正。

广义相对论是我们经常读到和听到的概念。什么是广义相对论？如果你用力压床垫，床垫就会弯曲，也就是说，用力和弯曲是等价的。在广义相对论里，重力用曲率来表达，而黎曼几何则是弯曲空间的理论。所以，做几何的人， 会经常提到广义相对论。

量子力学是当代物理学的基础。量子力学，英语是 quantum mechanics. Quantum 是巨大的意思。你看到一个刚出生的婴儿，过了十年，再一次见到，孩子有了巨大的变化。一个电子，每秒钟绕原子核好多亿圈。也就是说，一眨眼的功夫，电子已经绕着原子核走了很多圈，可能已经发生了很多事情，已经可能发生了巨大的变化。所以，描述微观粒子（都动得很快）的科学叫做量子力学。

量子力学使用的数学方法是泛函分析。泛函是普通函数的推广。普通的函数，有一条描述函数变化的轨迹，而泛函只有分布。假如你高中毕业，二十年后才和老同学相聚，发现原来差不多的同学现在的状况很不一样，你并不知道他们二十年间具体的情况，只能说，过去一样的，现在分布很广了。泛函分析源于量子力学，一眨眼的功夫，微观粒子已经产生了很大变化，你没法知道它的具体轨迹，只能知道它的分布，是为泛函，而非函数。有人也许会问，能否把测量的密度不断增加？但是一个观测者，或者观测者使用的仪器，相对于一个电子，是一个笨重无比的庞然大物，根本无法持续跟踪电子的行踪。

广义函数是泛函分析中的一个概念。普通的函数，每一点都有定义，而广义函数则可能没有。我们看一下万有引力和电力的计算，来理解广义函数。万有引力的公式是 1／r2。r ＝0 是一个奇点。但在实际情况中，重力有意义的都是大物体，象地球，半径都很大，所以不需要考虑r ＝0 这个奇点。电力的强度比重力高很多个数量级，小小的电子，相互作用力很大，但电子太小，计算当中，半径设为零，因为库伦力也是 1／r2，r ＝0 就成了一个真正的奇点。由于两个电子相邻的时候作用力很大，不能忽略，所以必需包括 r ＝ 0 时的状态，这就是广义函数，是狄拉克在量子力学计算中最早引入的。

人们讲到漂亮的理论，经常提到狄拉克方程。什么是狄拉克方程？那个时候，量子力学刚产生不久，原子内部，电子的速度很快，特别是大原子的内层电子，速度极快，需要考虑相对论效应才能准确描述，狄拉克就把量子力学和相对论放在一起考虑，这就是狄拉克方程。因为量子力学和相对论是两个非常基本的理论，结合在一起可以推导出很多预言，好些后来被证实了，所以经常被人提起。狄拉克方程说明，一个建立在坚固物理基础上的数学理论，即使非常奇怪，也能给出很符合实际的预见。

金融数学是一个应用广泛的理论，狄拉克的思想对金融数学也有间接但很重要的贡献，大家在理论力学中学过哈密尔顿系统和拉格朗日系统，而量子力学的早期理论是建立在哈密尔顿系统上的，狄拉克的问题是，量子力学可否建立在拉格朗日系统上？后来，费曼受到启发，创建了量子力学的路径积分方法，对工程，金融，经济和生物理论均有很多帮助。 

为什么路径积分方法对经济和生物理论均有很多帮助？一个生物系统，如果下一代的平均数目高于上一代，这个系统就有前途。同样，一个企业，如果营业额的平均数目高于成本，这个企业就有前途。能够计算未来的平均值，对于生物和经济理论至关重要。而路径积分方法提供了非常一般的计算平均值的方法。