关于概率的争论

(by 孙道椿 华南师范大学数学系)

有的事情通过一系列实验或观察, 会得到不同的结果. 对几种结果呈现出一种偶然性. 我们称这种现象为随机现象. 随机现象的每种结果, 称为随机事件.

一、概率的统计定义: 记某个随机事件为A, 若在u次彼此无关的试验(或观察)中出现了v次, 则称F(u,A)=v/u为随机事件A在u次独立试验中出现的频率. 事件A发生的频率v/u会在某一常数P附近摆动. 且当u越大时, 这种摆动幅度越小, 则称常数P为事件A的概率. 记为P(A).

概率的统计定义是一种最基础的定义. 它说明了事件的概率是客观存在的. 也给出了概率的最原始求法. 从定义可以看出, 我们指的随机现象应具有二个条件:

i) 不确定性: 每次实验的结果(事件)具有多个可能性, 且不能确定每次试验会出现哪种结果.

ii) 可重复性: 在相同的条件下, 试验可重复进行; 或者可以同时进行多次的相同试验.

(1) 平常, 人们对第一个条件"不确定性"映象很深. 对第二个条件-可重复性, 往往容易忽视. 从定义可以看出, 概率论是一门实践性很强的科学. 忽视了可重复性, 就忽视了它的基础.

(2) 有些事情: 比如美国的总统选举. 虽然选举前不能确定它的结果, 但它不满足可重复性. 所以它不是数学中所指的随机现象. 因此也不存在"概率"的问题. 如果有四人预测美国的选举结果:

甲说"布什有95%的可能当选."
乙说"布什有50%的可能当选."
丙说"布什有5%的可能当选."
丁说"布什肯定不会当选."

若结果是布什当选了. 上面仅有丁一人说错. 若布什没有当选. 上面四人全没有错. 由于美国的选举不可重复. 实际上, 前面三人说的话是不可验证的, 它只是反映了说话人的主观态度及认识. 在概率论中是无意义的.

有人认为对美国的选举结果谈"概率"是可以的. 但是：

1) 你总要提出它的定义, 及计算方法. 由于没有可重复性, 这里已不能用统计定义计算. 即使你提出了一种不同的方法, 那么或者你必须证明你的定义与公认的统计定义等价, 或者你提出的是另一种意义下的"概率". 决不是上述统计定义下的概率.

2) 你必须对结果作出判断. 至少要合理地指出上面甲,乙,丙,丁的说法, 谁更正确. 有人说可通过民意测验的结果可计算布什当选的概率. 但总得有个具体的方法. 比如说, 若民意测验的结果是80%. 您如何具体地计算出概率? 当选的概率应是100%? 90%? 还是80%? 若民意测验的结果是55%. 您又如何计算出概率?

二、有一类人们称为古典概型的最简单的情况, 可以通过概率的古典定义计算概率. 但它必须满足下面的条件:

i) 有有限的基本事件组A_1,A_2,…,A_n. (我们说的基本事件, 是根据问题的需要自主决定的. 但一定要具有完整性及互不相容性, 即: 每次试验, 有且仅有这n种事件{A_j}中的一种试验结果发生. 例如, 掷骰子, 我们可以将出现1点,2点,…,6点看成由6个事件组成的基本事件组. 也可以根据需要将"奇数点", "偶数点"看成由2个事件组成的基本事件组.)

ii) 等可能性: 每次试验中, 每个基本事件A_j出现的可能性是相同的, 即它们出现的概率是相等的, P(A_1) = P(A_2) = … = P(A_n). (这里出现的概率, 我们不妨称为初始概率. 它仍然要用统计定义为基础. 从上述可以看出, 没有可重复性, 就不能科学地谈等可能性.)

概率的古典定义: 若实验结果由n个基本事件A_1,A_2,…,A_n. 这些基本事件的出现具有相等的可能性. 而事件A由其中m个基本事件组成, 则事件A的概率是

P(A)=m/n.

应用概率的古典定义, 特别要注意基本事件的等可能性, 即每个基本事件出现的概率要相等. 因此它是以可重复性为基础的. 没有可重复性, 也就不存在等可能性.

2004年广东省高考有这样一道填空题(第13题): 某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长, 其中至少有1名女生当选的概率是----------(用分数作答).

i) 此题的"标准答案"认为, 由于基本事件组有n=(7×6)/2=21 个等可能的基本事件. 其中事件A"至少有1名女生"是由 m=(3×4)+(2×3)/2=15个基本事件组成. 于是根据"概率的古典定义", 答案为: P(A)=m/n=5/7.

ii) 我们也可以将"有1名男生当选", "有2名男生当选", "没有男生当选"看成由3个等可能的基本事件组. 这样"至少有1名女生当选"就由2个基本事件组成. 因此答案应该是2/3.

二种解法的答案不同. 到底谁对? 二种解法都有合规定的基本事件组. 问题出在对等可能性的理解上. 许多人会认为第一种方法是等可能的. 但仔细想想, 这其实是个人的主观感觉. 由于没有可重复性为基础, 谁能说清楚, 第一种就比第二种合理呢? 别忘了要想科学地说清楚, 首先你要建立一个可操作的准则. 没有一个公认的准则, 就只能象平常给女孩子打分一样, 打90分, 70分, 只是随便说说而已. 是不能算数学方法的. 数学的特点是讲定义, 讲证明. 历史上,人们凭感觉大地是平的, 结果是阻碍了人们对地球的认识; 凭感觉, 过线外一点只能作一条平行线, 结果是推迟了非欧几何的出现.

有人说第二种解法中，"没有男生当选"是由“女甲，女乙”，“女甲，女丙”，“女乙，女丙”3种情况组成；"有2名男生当选"是由(4×3)/2=6种；"有1名男生当选"是由4×3=12种情况组成。它们怎么会是等可能的呢？我们冷静想想，说这种话的人其实是默认了第一种基本事件组是等可能的。反过来，若默认第二种基本事件组是等可能的，那么第一种基本事件组就一定不是等可能的了。

有人说第二种解法中的基本事件组不是不可分的。其实“不可分”本没有定义。所谓“基本事件组”它只是根据研究问题的需要选定的。“生男孩”，“生女孩”通常可看成“基本事件组”。但若要研究男，女孩的体重分布，又可细分成：“4-5斤的男孩”，“5-6斤的男孩”，…“4-5斤的女孩”，…等，组成“基本事件组”。

在概率的公理化结构中，在满足几条公理的前提下，对随机事件及概率是可以人为规定的。若在上面题目中申明“假定每个人被选中的概率是相等的”，到也说得过去。但对数学的假定，尤其是在中学，应有相对的合理性，应有实践为背景. 比如: 假定天上有十个太阳；假定一个人头上长三只眼, 放在数学应用题中，都是不合适的。选举的精神是体现民意, 其基础就是承认人与人之间有差异. 若要将结果规定成等可能的, 也就没有必要进行选举, 用抽签决定更省事。

事实上, 在严谨的教科书中, 只会将选举用于排列组合题, 而不会用于求概率题. 二者绝不能混为一谈. 选举题可用于排列组合问题, 是因为排列组合只考虑有几种结果, 不涉及可能性的大小, 但决不能想当然地照搬到概率题.

顺便指出: 生活中除掷骰子, 抽扑克牌…等是古典概型外. 买彩票也是一个符合古典概型的例子. 每张彩票都是等可能的, 即中奖的机会是一样的。有些人, 甚至我们的报纸, 教人们如何选购彩票较有利. 实际上是误导彩票购买者。

作者注: 今年高考是广东省第一次自主命题，针对其中一题，写了此文，投“华中师范大学”数学系主办的"数学通讯"杂志，希望引起争呜。不想稿被退回，理由是编辑们不同意此文观点（看来学术上要民主也难）。 后来发现不赞成此文的人还很多。其中有许多还是对中学教学有重要影响的人。因为我更认为有必要展开讨论, 以便澄清思想、统一认识。不要因此影响广大学生对概率的理解, 影响中学的教学。

概率小议--兼谈广东省2004年高考第13题 by 孙道椿

(中学数学, MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS, 2004 No.11, 课外园地)

有的事情通过一系列实验或观察, 会得到不同的结果. 对几种结果呈现出一种偶然性. 我们称这种现象为随机现象. 随机现象的每种结果, 称为随机事件, 简称事件. 最简单的随机现象是掷硬币. 每实验一次有二个可能的结果, "正面", "反面"是二个不同的事件. 人们经过长期实践发现: 许多随机事件的出现虽然具有偶然性, 但在大量的试验中却呈现明显的规律-频率的稳定性. 为验证此现象, 历史上有许多学者, 还作过大量的试验及统计.

一、概率的统计定义: 记某个随机事件为A, 若在u次彼此无关的试验(或观察)中出现了v次, 则称F_u(A)=v/u为随机事件A在u次独立试验中出现的频率. 事件A发生的频率v/u会在某一常数P附近摆动. 且当u越大时, 这种摆动幅度越小, 则称常数P为事件A的概率. 记为P(A).

概率的统计定义是一种最基础的定义. 它说明了事件的概率是客观存在的. 也给出了概率的最原始求法. 从定义可以看出, 我们指的随机现象应具有二个条件:

i) 不确定性: 每次实验的结果(事件)具有多个可能性, 且不能确定每次试验会出现哪种结果.

ii) 可重复性: 在相同的条件下, 试验可重复进行; 或者可以同时进行多次的相同试验.

(1) 平常, 人们对第一个条件-不确定性映象很深. 对第二个条件-可重复性, 往往容易忽视. 从定义可以看出, 概率论是一门实践性很强的科学. 忽视了可重复性, 就忽视了它的重要基础.

(2) 有些事情: 比如美国的总统选举. 虽然选举前不能确定它的结果.但它不满足可重复性. 所以它不是数学中所指的随机现象. 因此也不存在"概率"的问题.实际生活中也很少有人问它的概率大小. 如果有四人预测美国的选举结果:

甲说"布什有95%的可能当选."
乙说"布什有50%的可能当选."
丙说"布什有5%的可能当选."
丁说"布什肯定不会当选."

若结果是布什当选了. 上面仅有丁一人说错. 若布什没有当选. 上面四人全没有错. 由于美国的选举不可重复. 实际上, 前面三人说的话是不可验证的, 它只是反映了说话人的主观态度及认识. 它不满足概率的定义, 不是概率论意义下的随机事件.

(3) 一般的随机事件, 用统计定义的求出它的概率, 需要做多次实验(而且还不能找出精确值). 为此, 对实验合理的设计, 数据的处理, 对结果的可信程度, 是"数理统计"课程中研究的一个重要内容.

二、有一类人们称为古典概型的最简单的情况, 可以通过概率的古典定义计算概率. 但它必须满足下面的条件:

i) 有有限的基本事件组A_1,A_2,…,A_n. (我们说的基本事件, 是根据问题的需要自主决定的. 但一定要具有完整性及互不相容性, 即: 每次试验, 有且仅有这n种事件{A_j}中的一种试验结果发生. 例如, 掷骰子, 我们可以将出现1点,2点,…,6点看成由6个事件组成的基本事件组. 也可以根据需要将"奇数点", "偶数点"看成由2个事件组成的基本事件组.)

ii) 等可能性: 每次试验中, 每个基本事件A_j出现的可能性是相同的, 即它们出现的概率是相等的, P(A_1) = P(A_2) = … = P(A_n). (这里出现的概率, 我们不妨称为初始概率.它仍然要用统计定义为基础.)

概率的古典定义: 若实验结果由n个基本事件A_1,A_2,…,A_n. 这些基本事件的出现具有相等的可能性. 而事件A由其中m个基本事件组成, 则事件A的概率是 P(A) = m/n.

应用概率的古典定义,特别要注意基本事件的等可能性, 即每个基本事件出现的概率要相等. 因此, 它是以可重复性为基础的. 没有可重复性, 也就不存在等可能性.

2004年广东省高考有这样一道填空题(第13题):

某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长, 其中至少有1名女生当选的概率是----------(用分数作答).

i) 此题的标准答案认为, 由于基本事件组有n=(7 times 6)/2=21 个等可能的基本事件. 其中事件A"至少有1名女生"是由 m=(3 times 4)+(2 times 3)/2=15个基本事件组成. 于是根据"概率的古典定义", 答案为: P(A)=m/n=5/7.

ii) 我们也可以将"有1名男生当选", "有2名男生当选", "没有男生当选"看成由3个等可能的基本事件组. 这样"至少有1名女生当选"就由2个基本事件组成. 因此答案应该是2/3.

iii) 若将"有女生当选", "没有女生当选"看成由2个等可能的基本事件组. 这样"至少有1名女生当选"就由1个基本事件组成, 则答案应为1/2.

三种解法的答案不等. 到底谁对？问题出在哪里？三种解法都有合规定的基本事件组. 问题出在对等可能性的理解上. 哪一组的确是等可能的, 由于没有可重复性为基础, 哪一种都不显然. 我们无法说清楚哪一种更合理. 不象掷骰子, 抽扑克牌…那样, 有实验为背景, 对等可能性的理解有共同的基础. 我们常说: "实践是检验真理的唯一标准". 没有可重复性, 就没有可实践性, 也就无法判定对错. 一道题不能判定对错, 不能算是正常的.

再说, 数学应用题的假设也应有相对的合理性, 要以实践为背景. 比如: 我们某人步行的速度是每秒一公里; 设明天的气温是摄氏80度, 都是不合理的. 选举的精神是体现民意, 其基础就是承认人与人之间有差异. 若硬是要将结果规定成等可能的, 也就没有必要进行选举, 用抽签决定更省事. (退一步说, 即使不顾合理性, 至少也要在题目中指明, 假定什么是等可能的, 以避免出现多种说不清的答案).

事实上, 在严谨的教科书中, 只会将选举用于排列组合题, 而不会用于求概率题. 但二者绝不能混为一谈. 选举题可用于排列组合问题, 是因为排列组合是讨论有几种结果, 不涉及可能性的大小. 但决不能想当然地照搬到概率题.

值得指出: 生活中, 除掷骰子, 抽扑克牌…等是是古典概型外, 买摇奖型彩票也是一个符合古典概型的例子. 每次试验(摇奖)都是独立的(即一次摇奖的结果对另一次摇奖的结果没有影响. 这里指的结果是指"中奖"或"不中奖", 并不考虑前一次转下来的金额). 每张彩票都是等可能的, 即中奖的机会是一样的(当然是在不舞弊的条件下).

对即开型彩票, 每刮开一张彩票就是一次试验. 每试验一次: 若未中奖, 对剩余的每张彩票, 中奖的概率都会上升; 若是中奖, 对剩余的每张彩票, 中奖的概率均会下降, 故它们不是独立的. 但每刮开一张彩票, 在剩余的彩票中, 每张彩票中奖的的概率仍然是相等的. 有些人, 甚至我们的报纸, 教人们如何选购彩票较有利, 实际上是误导彩票购买者, 是对概率论的否定.

参考文献

1. 概率论, 复旦大学编, 北京, 高等教育出版社, 1979.
2. 概率论教程, B.B.格涅坚科著, 丁寿田译, 北京, 人民教育出版社, 1956.