Kontsevich能拿下Fields奖，当然不是闹着玩的。

Maxim Kontsevich,1964年出生，16岁时获数学竞赛全苏联第二名，85年从Moscow
大学毕业（没拿到本科学位），然后在莫斯科信息传输研究所工作5年，其间他有
很多时间花在音乐上，还在业余的法语强化班上认识了后来的夫人Rosanova。
插一句，Drinfeld得菲尔兹奖的工作是在低温物理研究所作出的，可见苏联的
学术环境有其独到的一面。

1985-1990是苏联政治文化大动荡的时期，许多苏联科学家离开了苏联，包括
Galfand去了Rutgers，Drinfeld去了Chicago，Margulis和Zelmanov去了Yale。
Kontsevich后来说他自己在这段做数学的时间非常少，但他还是坚持在数学上
做出了不少好的工作。当然和他后来的工作没法比。

（一）Max-Plank研究所，一生的转折点

1990年德国波恩大学Max-Plank数学研究所邀请他访问3个月，就在他准备回莫斯科
的之前，他参加了Max-Plank研究所的一个为期5天的国际会议，第一个报告是
Atiyah，介绍了Witten的一个曲线模空间相交数的猜测，Kontsevich放弃几个晚上
参加宴会的机会，想出了一个证明的思路，在会议结束前，Kontsevich报告了他的
想法，引起很大的反响。Max-Plank研究所所长Manin于是把他的访问期限
延长到了3年。这是Kontsevich一生的转折点，一年后他就完全证明了Witten猜测，
还证明了两个量子重力模型的数学等价性，开始跻身世界一流数学家行列。
就是下面两篇文章

[1]Intersection theory on the moduli spaces of curves，
Func. Anal. Appl. 25, No 2, 123-129(1991)

[2]Intersection theory on the moduli spaces of curves and the matrix
Airy function， Comm.Math.Phys. (1992) 147, 1-23

1992年Bonn大学授予Kontsevich博士学位。在Max-Plank研究所期间Kontsevich还
到Harvard,Princeton,Berkeley,Rutgers等大学访问。

Kontsevich的数学天赋展露无遗，下面这片文章引入了著名的Kontsevich积分，
并用之构造了新的扭结不变量。是目前公认的扭结分类最有效的不变量。

[3]"Vassiliev's Knot Invariants."
Adv. Soviet Math. 16, Part 2, 137-150, 1993.

（二）关于Gromov-Witten不变量

1993年的时候阮勇斌和田刚合作发表了一篇重量级的文章
Mathematical Theory of Quantum Cohomology，其中证明了量子上同调环的
结合律，并且对一类所谓半正定辛流形构造了后来被称为Gromov-Witten class
的不变量。他们的工作主要是基于Gromov的辛流形伪全纯曲线的开创性工作和
Witten在拓扑sigma模型方面的一些物理思想。Gromov-Witten不变量的叫法
最早应该是Kontsevich和Manin的文章

[4]Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry
Comm.Math.Phys.,164:3 (1994), 525-562

Kontsevich和Manin推广了Ruan和Tian的工作，并且给出了GW不变量的全新解释，
他们的文章有不严格的地方，有一些是“直觉上”和“概念上”的论证，留下了
被人攻击的口实。但其中的许多思想还是很值得研究的。“严格性”是数学家一
直遵循的一条戒律，但现代数学的发展，以及物理学思想对数学的影响日益显著，
特别是某些物理学家，可以从直观的物理想法上预测深刻的数学结论，然后把证
明的细节抛给数学家们。似乎在许多大家看来，想法是最最要紧的，技巧嘛，只
要想法对头，总能推出来的拉。

其实Kontsevich等人的文章还是很推崇Ruan和Tian的工作的。也看到过有人用
Gromov-Ruan-Witten不变量的，反正同行是清楚Ruan和Tian的贡献的。就象提到
Atiyah-Singer指标定理，人们也不会忘了Hirzbruch和Bott一样。

GW不变量有很多问题现在还是研究热点，特别是C.Taubes的工作
建立了GW不变量和SW不变量的联系。

（三）同调镜象对称，离菲尔兹奖一步之遥

Kontsevich最重要的工作之一同调镜象对称是在1993年作出来的，Kontsevich那时
在Berkeley任教。

镜象对称是弦论研究里发现的关于3维Calabi-Yau流形的对偶关系，物理学家用
镜象对称原理可以预测射影流形上曲线的条数公式，这个是意大利老一辈代数几何
学家就研究过的问题，但是难度太大，一直没有进展。没想到却在物理上发现了
一线曙光。一下子镜象对称就成为弦论里研究最多的分支，但是直到Kontsevich的
工作出炉以前，这个领域里到处都是猜测，只有一些零星的结果，特别是对于镜象
对称的数学解释没有一点头绪。

Kontsevich的以下两篇文章是巨大的贡献。

[5]Enumeraion of rational curves via torus actions, preprint,1994

[6]Homological algebra of mirror symmetry
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich (1994)
vol. I, Birkhauser (1995) 120-139

他给出了几个射影流形上曲线条数的公式，用计算机验证的结果和物理上预测的结果
完全一致。他还用Fukaya范畴给出了镜象对称的一个数学解释，
称为Kontsevich Programm，里面除了复杂的推导，还有许多的conjecture，直到现在
都还没法完全搞懂，但人们依然相信Kontsevich的这套理论是站得住脚的。后来
Strominger,Yau,Zaslow从另一个角度给出镜象对称的数学解释，成为现在研究的很热的
SYZ猜想。

Kontsevich在1994年苏黎世数学家大会上做一小时报告，内容就是上面的文章[6]。
这时候年仅30岁的Kontsevich已经是公认的国际上最杰出的年轻数学家了。

（四）远赴巴黎，终获桂冠

Kontsevich的弟弟是美国San Francisco的计算机视觉专家，Kontsevich本来已经打算
在Berkeley买一套房子终身定居了，这时候巴黎高等研究所邀请他担任终身教授，
那时侯IHES只有4位终身研究人员，其中有两位俄国人，Mikhael Gromov和
Nikita Nekrassov，加上那里不用教书，巴黎又是世界上数一数二的数学中心，
Kontsevich于是离开了对他再三挽留的加州Berkeley分校，成为IHES有史以来最年轻的
一位终身教授。

Kontsevich在巴黎期间继续有好的工作问世，代表作是

[7]Lyapunov exponents and Hodge structures
in "The mathematical beauty of physics: in memory of Claude Itzykson"
(5-7 juin 1996, Saclay) J.M.Drouffe and J.B.Zuber (Eds.)
Advanced series in mathematical physics (1997) 24, 318-332

[8]Dexxxxation quantization of Poisson manifolds
preprint IHES/M/97/72 (1997)

[9]Operads and Motives in Dexxxxation Quantization
Lett. Math. Phys. (1999) 48, 35-72

[10]with Y.SOIBELMAN
Homological mirror symmetry and torus fibrations
in "Symplectic geometry and mirror symmetry",
K.FUKAYA, Y.-G.OH, K.ONO, G.TIAN (Eds.) World Scientific (2001) 203-263

和一些大家一样，Kontsevich的一些文章只有预印本，但这并没有太大的影响，网上
都有的。

比如那个Voevodsky在1996年证明Milnor猜测的文章至今未发表
http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170/

还有L.Lafforgue的弟弟V.lafforgue证明Baum-Connes猜测的文章也没有发表
http://www.math.jussieu.fr/~vlafforg/

他们可能是想把文章做的完善一点再投吧。

终于在1998年的国际数学家大会上，Kontsevich和剑桥大学的Borcherds,Gowers，
Harvard的Mcmullen一起获得菲尔兹奖。听说Kontsevich在Moscow大学的老师Gelfand
为Kontsevich的获奖出了很大的力，这个其实无可厚非。毕竟只有获奖者自己的实力
才是能够征服挑剔的菲尔兹奖Commitee members的唯一武器。

在ICM上为Kontsevich的工作做介绍的，正是C.Taubes。