数学家杨乐， 江苏南通人。1962年毕业于北京大学。中国科学院数学与系统科学研究院院长、数学研究所研究员。主要从事复分析研究。对整函数与亚纯函数亏值与波莱尔方向间的联系作了深入研究，与张广厚合作最先发现并建立了这两个基本概念之间的具体的联系。在亚纯函数奇异方向进行了深入研究，引进了新的奇异方向并对奇异方向的分布给出了完备的解答。对全纯与亚纯函数族的正规性问题进行了系统研究，建立了正规性与不动点间的联系。引进亏函数的概念，证明了有穷下级亚纯函数的亏函数至多是可数的。与英国学者合作解决了著名数学家立特沃德的一个猜想。对整函数及其导数的总亏量与亏值数目作出了精确估计。 1980年当选为中国科学院院士（学部委员）。 曾获全国科学大会奖、国家自然科学奖、国家科技进步奖、华罗庚数学奖、陈嘉庚数理科学奖、何梁何利奖与国家图书奖等。

早期研究生涯的一点体会

杨乐

在这篇短文里，我简要地谈谈早期从事研究工作的一点体会。

1962年，我由北京大学毕业后，考入中科院数学所，成为熊庆来先生的研究生。当时，熊先生已年逾古稀，半身不遂，然而他仍经常与我谈话。虽然许多谈话内容只是一些闲聊、典故，却使我从学术思想上受到熏陶，并从中探索合适的研究方向。正如熊先生自己所说：“我年事已高，虽不能给你们具体帮助，但老马识途”。

1、从经典论著中汲取营养

熊先生当时让我们在讨论班里报告R. Nevanlinna的著作“Le théorème de Picard-Borel et la théorie des functions méromorphes”以及G. Valiron的著作“Directions de Borel des fonctions méromorphes”。对这两本书的深入研读以及对值分布领域一批最杰出的学者，如L. Ahlfors，E. Borel，H. Cartan，G. Julia，H. Milloux，P. Montel，R. Nevanlinna，G. Valiron的重要论文的钻研，为以后自己的研究工作打下了良好的基础。这方面有一个突出的例子：辐角分布论是一个非常深刻且困难的领域，我们当时为了弄懂它并领会其实质，曾下了一番苦功夫。改革开放后，我与北美、西欧许多国家好几十位著名函数论专家不断交往，发现除去D. Drasin与A. Weitsman两人，其他专家对辐角分布论并没有多少了解。即使是Drasin与Weitsman也没有能像我们那样在这方面下一番苦功。后来，听到陈省身与丘成桐教授常常说起要从一些经典著作与文献中汲取思想和营养，我感到很有道理。

研究生期间，我在《中国科学》上发表了4篇论文。当时，国内学术界与国际上几乎没有任何交流。例如1964年下半年英国皇家学会会员W. K. Hayman在伦敦举行的一次国际会议上提出函数论的一些值得研究和未解决的问题时，我和张广厚已正在从事这方面的研究并解决了一个问题。但我们并不知道Hayman提出了这个研究问题，Hayman也是在我们的论文发表后才得知我们的结果。又如，D. Drasin说他1969年发表在国际顶尖数学期刊“Acta Math.”上的长篇论文，其思想与内容基本上没有超出我和张广厚1965年在《中国科学》上的论文。

2、掌握当前国际上的进展与动态

1966年，正当我们将进行毕业论文答辩时，十年浩劫开始了，进一步从事研究工作的计划推迟了五、六年。1971年底以后，即使恢复了研究室的建制，然而“四人帮”的疯狂破坏与干扰，极左思潮的泛滥，政治运动的压力，使得研究人员几乎无法开展工作。当时，我们对此情况有所认识，全力以赴地投身于研究工作。然而在与研究完全隔绝了6年以后，困难确实极大。从六十年代以来，函数值分布论又有了很大发展。要想做出优秀成果，首先必须掌握当前的进展与动态。为此，我们钻研了六十年代至七十年代初国际上杰出学者在这方面的论文。如I. N. Baker，J. Clunie, D. Drasin, A. Edrei, W. Fuchs, A. Goldberg, W. Hayman, A. Weitsman等的研究工作。

当时，张广厚视网膜有严重问题，不宜多看书，由我报告论文，听众仅张广厚1人。我们偶尔与北大的函数论同行进行交流，一次我报告时，听众也只有庄圻泰与陈怀惠2人。后来，在所谓反击右倾翻案风时，这些学术讨论与活动被认为是走资本主义道路，承受了很大的压力。

当时国际上专家们在值分布论方面的研究成果与以往的经典论著有了很大的不同。他们围绕着亏值与亏量关系作了十分深入的探讨，获得了许多新颖与有趣的结果。方法与技巧也更加高超了，引进了拟共形映射、逼近论、调和测度的估计等新内容。为了熟悉与掌握这些成果和方法，我们也下了一番功夫。

3、刻苦攻关，不断进取

在值分布论方面，熟悉了经典的论著，又掌握了当前的进展与动态，这就为从事研究工作做好了准备。我们认为函数辐角分布论刻画了函数更为深入的性质，且难度很大，国际上新成果很少，是十分值得研究的课题。开始时，我们看到整函数的Borel方向的分布必须遵循一定的规律，那么亚纯函数的情形如何呢？经过一番细致的研究，凭籍我们对Borel方向的深入理解，克服了一些困难，发现了不仅仅是整函数，而且范围大得多的函数类——具有一个亏值的亚纯函数，其Borel方向的分布也符合这个规律。

我们的这项研究工作是辐角分布论的一个优秀成果，似乎在这个课题上已难以继续前进，工作可以告一段落。在那一段时期里，我和张广厚又反复钻研、揣摩，终于发现了在亚纯函数的亏值与Borel方向之间存在的深刻关联。亏值是模分布论的基本概念，围绕着亏值与亏量关系，有着大量研究工作。Borel方向是辐角分布论的主要概念。过去这两个概念是各自研究领域的中心，然而它们之间似乎没有任何联系。而且一个是刻划函数在大范围的性质，另一个则是描述函数在局部的动态，存在着根本的差异。我们的工作指出有穷正极亚纯函数，其亏值总数不超过其Borel方向总数。于是，这两个中心概念间建立了一个紧密的联系。这项研究工作体现了我们研究的特色，也获得了国际上同行专家的高度评价。

在这项颇具特色的研究工作完成后，我们又进一步考虑如果亚纯函数没有亏值，它们的Borel方向的分布如何？经过反复研究，我们证明了，在复平面上任意给定一些从原点出发的射线，只要它是非空和“闭”的，则一定可构造出一个亚纯函数，它以且仅以这些射线为其Borel方向。这就是说如果将函数类扩大到全体亚纯函数，则其Borel方向的分布便完全是任意的。

我们的研究在取得上述第一项成果后似乎已告一段落。如果没有继续钻研，深入研究，则后两项更具特色的成果就不能获得。这些成果与我们其他的研究工作长期以来获得了国际同行的高度评价，从七十年代中期美国纯粹与应用数学家访华团以书籍与论文公开发表的报告中提出的“first-rate”，“outstanding”，“important contributions”，“both new and deep”等，到二十多年后在百科全书、专著、论文中的评价与引用：“important modern contribution”，“Chinese school”，“through study”，“discovered an interesting relation”等。1979-80学年，我与张广厚应邀赴美访问，Drasin与Weitsman特地为我们的访问举办了一个大型国际函数论会议，一百余位来自北美、西欧等国的学者与会。这些是对我们当时刻苦攻关、不断进取的一种肯定与鼓励。