张天蓉：丢番图的墓志铭

在追溯中国古代用极限思想求圆周率时，我们说到刘徽和祖冲之。比刘徽略早几十年，另一位颇有贡献的古希腊（後期）数学家是被誉为“代数之父”的丢番图（Diophantine公元200～214至公元284～298），他是第一位将数学符号引入代数的人。也有人认为“代数之父”这个称谓，应与比他大约晚出生五百年的一位波斯数学家花拉子米共享。

也许受欧几里德的影响太深，古希腊数学家多以几何著称。但是，在希腊化的年代里，也出了一位喜爱代数的丢番图。

数论中有一个著名的“费马大定理”，说的是“当整数n大于2时，方程xn+yn=zn没有正整数解”。这个定理有一段饶有趣味的历史。据说费马在1637年，曾经专心阅读一本数学书并做笔记。读到第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数„„”时，费马对此问题颇感兴趣并推广联想到更为一般的情况。但费马认为一般情形无解，于是在书页边的空白处写下来这么一段话：

“一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”

这便是後人称之为“费马大定理”的假设。之後，这个问题的证明困惑了数学家整整三百多年，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底完成。

当年费马阅读的那本书，就是本篇文章的主角丢番图所著的《算术》（Arithmetica）。

人们对丢番图的准确出生年月及生活知道不多，只知他一生中基本居住和活跃在埃及的亚历山大港。有趣的是，现代人对他的生卒年月日难以确定，但却能确定他活了84岁，这个结论来自于丢番图的墓志铭。

这个奇特的墓志铭是一道谜语般的数学题，翻译如下：

“过路人！这里埋着丢番图，

聪明的你算算他活了多少年？

他生命的1/6是幸福童年，

生命的1/12是蒙昧少年。

又过了生命的1/7他洞房花烛，

喜得1贵子是在婚後5年，

可惜这孩子只活到了他父亲年纪的一半，

孩子死後4年，丢番图也结束了他的尘世之缘。”

这段墓志铭写得太妙了。谁要想知道丢番图的年纪，就得解一个一元一次方程，解出未知数的答案便是84。

丢番图确实与代数方程结下不解之缘，他的主要著作，那本被费马细读的书《算术》，处理了求解代数方程组的许多问题。该书有不少篇幅已经遗失，在现存的版本中，仍然以问题和答案集的形式收录了三百多个题目。因此，《算术》看起来不算是代数教科书，而更像是习题集。丢番图是第一个认识到分数是一种“数”的希腊数学家，在他研究的方程中，允许系数和解为有理数，这个现在看起来不起眼的事情，在数学史中却具有开创性，在数论和代数领域作出了杰出的贡献，开辟了广阔的研究道路。但因为那个年代的数学家最熟悉的还是整数，因而，在现代人的眼中，丢番图的名字或许时常出现在数论中，例如，丢番图方程、丢番图几何、丢番图逼近等等，但在代数学中却不常见。

丢番图在数学符号方面也作出了贡献。他认为代数符号比几何图像和人类语言更适宜于数学的深入发展，更能够准确而深刻地表达概念、方法和逻辑之间的关系。因此，丢番图尽量系统地使用符号，创造符号。符号的发明在数学史上是一次飞跃，我们现在都习惯了简单的数学符号，仍然可以设想一下：一个公式，如果不用符号而仅用日常语言来表述，会十分冗长而含混不清。

丢番图也有纯粹几何方式的书，如《多角数》，此外，还有《推论集》等其它著作。

公元8-9世纪，丢番图的著作逐渐传到阿拉伯国家，对阿拉伯数学产生巨大的影响。许多中世纪，以及後来的近代数学家，如刚才提及的费马等，都受到过丢番图的许多启发。