一个数学家必须要具有诗人的气质。
　　　　　　　　　　　　　　　　-- H. Wyle
　　　　　　　　　
作为人类关于数量和空间的经验的总结，数学被看作一门科学。然而粗糙的定义是不能
完全涵盖数学丰富多彩的内容，特别是现代数学的抽象，以及现代数学家对形式美的爱
好和追求。这些都与古代数学有极大的区别。与其把数学看作科学还不如看作艺术。

数学知识的积累更像艺术作品的积聚，而非科学知识的替换。科学知识只是对现实世界
的或精巧或拙劣的模拟，时常是精巧的会代替掉拙劣的。A.L.L.Lawaxi的氧气燃烧学说
出来之后，燃素说便无地自容了。广义相对论也使Newton力学相形见拙。然而艺术品却
是不断的积聚的。并不因为有了Stravinsky的《春之祭》就无人倾听Mozart,
Vincent van Gogh和Leonardo da Vinci画风不同，却同样受人喜爱。数学也是这样
，每个时代的数学家都是在为数学大厦添砖加瓦。十九世纪的大师的著作现在看来依然
毫不逊色。A.Weil便是从《Gauss全集》中受启发,做出Weil猜想的。[8]Anorld居然能从
Newton的《自然科学的数学原理》中汲取营养。每个数学定理只是它本身，而非其他，
它自身就是一个宇宙。我们完全能像欣赏一首诗、一幅画、一部乐曲那样欣赏它。C.G.J
.Jacobi曾写道："Fourier先生认为，数学的主要目的是服务人类，解释自然现象，但像
他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀，因此，一个关于数
的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。"[1]G.H.Hardy把数学和诗歌相比，
突出说明数学的形式美。按Hardy的说法，诗歌的内容不重要，关键是遣词造句，以及由
此而构建的意境。[2]这种看法与D.Hilbert的形式主义是相通的：数学是一堆没有意义
的符号，数学家只是在一定的游戏规则下作符号游戏。叶葱奇在《李贺诗集注疏》序言
中写道："古诗歌的组成全在词汇的秾缛，音调的铿镪，用典的精妙，用字的轻重、浓淡
，从这上面生出的幽深、超逸的风致，构成的美妙、隽永的意味。"[11]其实所有高级的
艺术形式都是这种形式化的倾向。京剧不是吗？C.Maxwell也曾说J.B.J.Fourier的《热
的解析理论》是一首数学的诗。[3]邱成桐曾把数学比作绘画，有广告画和印象画之分，
似与应用数学和纯数学相对。"我想做几何也跟画画差不多，不过我们画的图更广泛一点
，物理要画的图画基本上只是一张图画，就是自然界的现象。我们可以乱画，我们可以
画广告画，也可以画印象画。"[4]还说可以乱画，就更把数学的艺术性表现的淋漓尽致
，试问一个分子生物学家敢不敢乱画人体DNA结构图。

数学的美在于它的抽象、简洁、对称、优雅，以及出乎意料的完美。这正是Mozart音乐
的特点，当然也像是庄严而空灵的星空。当你欣赏一个定理或一套理论时，会发现它的
每一步推理都象是人为的，局部地似乎看不出它们存在的理由，然而所有推理奇妙的组
合在一起，便指向一个伟大的结论，那样鲜明生动，像蜿蜒的山路，石缝的清泉。数学
家为何普遍喜欢Atiya-Singer定理（光滑流形的椭圆型微分算子指标和拓扑指标相等）
这样的工作正是因为它的出乎意料性，因为它揭示了两个相距很远的数学分支之间的联
系。

数学的魅力更在于它的永恒性。"和其他思想家的追求相比，数学家所追求的是更加理想
，并且也许是在艺术上更加令人满意的形式。时代可以变更，语言可以发展和消亡，画
家的画布可以腐成碎片，雕像的材料可以溶浊分解为灰尘，然而这种形式却保持不变。
它的确是永远使人快乐的美丽事物。"[5]数学定理一旦被找到，它就会永远存在，而且
还会无数次地被人重新发现、欣赏、吸收。

G.H.Hardy说,数学家跟画家或诗人一样，也是造型家，区别仅在于画家造型用形和色，
诗人用语言，而数学家这是用概念来造型。[2]他们都在从事一种创造。感觉、直觉在数
学创造中的作用和在其他艺术创造中的作用一样，都是它们的源泉。一个记忆力、注意
力很强的人可以成为一个好的数学学习者、应用者、教授者，但不一定能成为创造者，
假如他没有一种数学直觉。正如绘画需要许多技巧技术，但所有的技术都不足以使人成
为绘画大师。在艺术的天堂里重要的是感觉。H.Poincare用形象的比喻来说明数学的创
造过程，各种数学概念在潜意识里碰撞组合,数学直觉从中筛选出有意义的组合,进而进
行创造。他强调顿悟。先是紧张的工作，然后完全放松，把任务留给潜意识，随后顿悟
发生。潜意识做出选择时，所用的标准便是"数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅
致感"，"这种和谐同时是我们审美需要的满足，以及支持指导我们思想的助手"，"有用
的组合恰恰是最完美的组合，我意指最能使这种特殊情感着迷的组合"。

[6]了解Mozart的人可以把他的音乐创作与Poincare　所说的相印证。Mozart的创作完全
是凭一种音乐直觉,他可以一边和人谈话一边写曲谱。李白也正是在醉酒状态，即意识活
动放松潜意识活动兴奋时，写出他的诗歌。

理解数学时用的也是一种感觉。数学证明并非逻辑三短论的简单叠合。在一个证明中有
一种一般的原则。"它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更重
要。如果我是有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉。以便一眼就觉察到作为一
个整体的推理，那么我无需害怕我忘记这些元素之一，因为他们之中的每一个都在排列
中得到它的指定的位置，而且不要我本人费心思记忆。"[6]这或许是对数学感觉的最生
动形象的描述。简而言之数学感觉便是一种整体次序感、和谐感。

数学和艺术一样可分为各种流派，存在各种风格。各个流派感兴趣的东西不同，思考问
题的方法也不同，论文著作的行文风格也不同。Poincare 曾说，数学家可以分为两类：
几何型、分析型。分析型的数学家思维精细而严密注重推理，比如A.Cauchy 、K.T.W.We
ierstrass ；几何型的数学家想象力丰富，注重直觉，喜欢迅速把握问题的实质，比如
G.F.B.Riemann 、F.Klein 。[7]且不提第三次数学危机时的三大数学基础学派,比较一
下德国抽象代数学派,中国数论学派和美国低维拓扑学派的著作，便很清楚艺术风格的存
在。

以E.Neother 为中心的抽象代数学派，永远是那种优雅闲适，甚至有点浮华轻靡的气氛
。不论是E.Neother 的女性身份，Van der Waerden 的名著和他的钢琴爱好，还有E.Art
in近乎完美的讲课风格。然而华罗庚的高贵庄重中有明显的剑桥分析学派的影子，陈景
润的朴实无华是典型的中国风格，翻开二人的著作均是积分号与近似估计，让人顿生冷
峻之想。美国低维拓扑学派的书几乎全是扭结、曲面、环链的天地，让人眼花缭乱。美
国人务实、具体、效率的精神也表露无遗。

当今的数学主流,据说还是D.Hilbert 的形式主义和Bourbaki 风格。两者都是以公理化
思想称著于世。Bourbaki学派曾以《数学原理》巨著为手段，怀抱统一数学的雄心，但
现代数学的纷繁复杂也令其于1985年封笔至今,但他们那种整齐、抽象,"定义－定理－证
明"的格式却几乎成了现代著作的标准。

各门艺术中都有它的大师和怪杰。历史上也涌现了许多风格独特的数学家。C.F.Gauss为
人孤僻，追求完美，他的作品可谓美仑美奂。结果不成熟，他是不会发表的。而且他可
以对一个定理一证再证，精益求精，有名的代数基本定理便是如此。

G.F.B.Riemann是一个极富创造力的数学家,他的全集很薄,但几乎每篇论文都开创一个数
学方向, Riemann猜想、Riemann积分、Riemann几何、Riemann面。他的作品写得很简略
，结论多于证明，留下的工作足以让后来的数学家工作几百年。

印度怪才S.A.Ramanujan 在艰难的环境下自学，他的几乎所有知识都来自他唯一的本书
。他寄给G.H.Hardy 的笔记本中包含几百条未加证明的数学式子，包括定积分、无穷级
数、连分数。G.H.Hardy 当时的惊奇也许是每个见到那个笔记本的人都会感到的。"单单
看一眼，就足以说明这些公式只能出自最高级的数学家之手，它们一定是对的，因为否
则的话，没人能具有这样的想象力去发明它们 。"[2]

P.Erdos 是世界上最多产，与人合作最多的数学家，留下了1500 篇论文,而且几乎每篇
都包含一个有意义的结果,甚至有里程碑似的结果。他的生活方式更是令人惊叹，孑然一
生，周游世界，疯狂的讨论数学 。[8]

Bourbaki 学派第二代精神领袖 Grothendieck激进的政治观点并不影响他的数学的宏伟
与崇高。他制造了一个统一的概形理论来处理代数几何，将代数几何完全抽象化。有人
说他是:不论告诉他什么，他都翻译成自己那套语言。典型的法国人。后来他发现政府仍
在干预数学，于是愤而隐退，回家种葡萄。[9]

这种例子还有很多，数学便是这样在发展中带上了各种数学家的个性、人格特色，使其
更如同艺术作品，使我们可以沉迷其间，涵泳其间，尽情欣赏。

科学追求的是对大自然的理解，是对真理的发现，而数学更多的是对美的追求。K.Godel
的不完全性定理指出了数学的缺陷,也阻绝了以数学为绝对真理的想法。数学家们一反十
八世纪以前为科学服务的态度，全身心投入数学美的构建。摆脱了为客观世界所束缚的
数学，从人类的自由心灵中汲取力量，涌现出无数在客观世界中无法存在，只能存在于
人类头脑里的抽象概念，比如：高维空间、流形、抽象群、由选择公理导出的分球悖论
。数学家从而获得了自由，甚至宣称，在数学中你想干什么都行。于是有了Poincare 所
言各种概念相互碰撞而创新。

不可否认在数学中有一套客观标准来衡量一项工作的重要性。比如说：它是否解决了历
史上遗留下来的问题；它对整个理论的完美性有何贡献；它是否揭示了几个表面上相距
很远的数学分支之间的联系；它是否创造了新的方法，该方法是否有普遍性；它是否体
现了和谐与美。然而每个人都可以去喜欢去做他所感兴趣的那部分数学.这里远离政治、
种族、战争,甚至烦恼,有的只是专注、安详、宁静，领悟后的欢乐，创造时的兴奋。F.
Riesz说："我不高兴时搞数学，使自己高兴。我高兴时搞数学，使自己更高兴。"或许数
学最适合小平邦彦这种悲观厌世之人。"早八时起床，九点四十分是Segel的关于三体问
题的课,十一点十五分至十二点是Weyl的讨论班，一点二十分到两点二十分在小平的讨论
班讲自己的论文，回家继续写论文，五点三十分街上餐馆晚餐，回家工作到深夜。"[10]
数学是一座为其挡风避雨的象牙塔，也是其所有的精神寄托。

[1] Jean Dieudonne 沈永欢　译　　当代数学：为了人类心智的荣耀　　上海教育出
版社　1999
[2] G.H.Hardy　李文林　译　　一个数学家的辩白　江苏教育出版社 1996
[3] J.B.J.Fourier 桂质亮　译　 热的解析理论　　武汉出版社　　1994
[4]　邱成桐　　几何学的未来发展　　数学译林　　第十六卷第十期
[5] J.N.Kapur　王庆人　译 数学家谈数学的本质 　"本 大学出版社 1989
[6] H.Poincare 李醒明 译 数学创造
[7] H.Poincare 李醒明 译　　数学中的直觉和逻辑
[8] 李心灿 当代数学大师　航空工业出版社　　1994
[9] 胡作玄　赵斌　菲尔兹获奖得者　湖南科学技术出版社　1984