也談龐加萊猜想

你在一張平的橡皮膜上任意畫一個圈——一條封閉的沒有“８”字那樣自交的曲線。橡皮有彈性，你可以把這個圈變形，變為另一式樣的圈，例如變形為一個正方形的邊或更令人喜愛的圖形——圓。既然在橡皮的世界中圈與圓可以如此變來變去，我們就用圓做圈的代表。變化中總有不變的東西，你發現沒有，不管圈如何變，總是把平面分割成兩部分這點不變。反過來，如果橡皮平面上的一條閉曲線把平面分割成兩部分，那它就是一個沒有自交點的圈，方便地說，是一個圓了。只有一個自交點的“８”字式閉曲線已把平面分成三部分，自交點越多分割出的部分也越多。

我們所用的橡皮品質似乎極好，不但能隨意拉伸而且能隨意壓縮，除非動用刀剪之類工具，否則它永遠不破。當然，如果你肯用腦子想象，那就不需要去尋找這種世上並不存在的橡皮了。

現在，你想象在橡皮體即３維橡皮空間中作一個球面，這個球面可以變形為坑坑窪窪凹凸不平的閉曲面，所謂閉曲面即一個有界、無邊緣的曲面。與平面上的圈一樣，球面無論如何變都把空間分割成兩部分。但是反過來就與平面圈不一樣了，橡皮體中把空間分割成兩部分的閉曲面卻不一定是球面。一個例子是輪胎面，它是閉曲面、把空間分割成兩部分，但你沒有辦法把它變成球面，因為輪胎面有一個中通的“洞”。不過，索性從“洞”這個東西出發到也可以建立一個判定方法：如果閉曲面沒有輪胎面那樣中通的“洞”，那它一定是球面。這個辦法看上去簡單但有一個缺點，要站到閉曲面外面去看。有沒有辦法直接在閉曲面上面找到判定的辦法呢？

你在球面上任意畫一個圈，直觀上看這個圈都能在球面上縮成一個點，這個性質叫做單連通。球面的單連通性可以說得更嚴格一些：在球面上挖一個洞，就能把帶洞球面變形為平面。球面上任何圈不可能圍住整個球面，你在圈外挖一個洞，把帶洞球面展成平面，這個圈就變為平面上的圈了。平面圈在平面上有很多辦法收縮到一點，對應到球面上，就得到原球面圈收縮到一點的辦法。

輪胎面不是單連通的。你在平面上畫一個圓，在圓外畫一直線，把圓圍繞着直線轉，使它轉出平面成為一個空間圖形，就形成輪胎面。在輪胎面上你可以找到兩種圈無法收縮到一個點。第一種是開頭平面上的圓及其轉出的空間中的圓，雖然你可以勒緊輪胎使它的半徑縮小，但無法縮到０，否則輪胎內有一圈粘死就不成其輪胎了。第二種是開頭圓上每一點繞直線轉出的圓，其中包括一個半徑最小的圓即圓上離直線最近點轉出的圓，也就是貼着輪胎“洞”環繞的那個圓，這種圓也無法收縮到一點，否則輪胎就沒有“洞”了。

如果你動手畫畫這些圖形，你會獲得一些感覺與經驗，你可能會猜測：在３維空間中，閉曲面中可能只有球面是單連通的。換句話說，單連通的閉曲面必定是球面。你的猜測是對的，我們下面嘗試說明它。

首先說明一點，３維空間中的閉曲面都有內部外部，有里外兩面。你如何去做一個沒有裡面外面只有單面的閉曲面呢？你可能會做牟比烏斯帶：把矩形帶兩端反向連結起來形成的圖形；如果同時把矩形另外兩端也反向連結起來，這就形成一個閉曲面叫克萊因瓶。從製作的過程看到，克萊因瓶是一個只有一面的單面閉曲面。但是你在３維空間中做克萊因瓶總是要穿過自身，無法做成，要增加一維在４維空間中才能做成克萊因瓶。克萊因瓶是單面閉曲面製作方法的代表，從此可以看到，在３維空間中不存在單面的閉曲面。

在３維空間中任意取一個閉曲面，因為它有里外兩面，我們總可以取到一個半徑適當的球面使它能完全放入閉曲面的內部。然後，我們令球面自由擴張，這一點可以想辦法做到，比如通過一根管道向球面內部充氣或者將閉曲面抽真空讓含有空氣的球面膨脹。於是，球面擴張到閉曲面的角角落落，有的球面部分貼着閉曲面內壁，有的曲面部分向空的地方隆起延伸，最後布滿閉曲面所有的空間。這就發生兩種情形：

第一，球面最後形成的曲面沒有自己與自己相碰的地方。這表明原閉曲面實際上也是一個球面。

第二，球面最後形成的曲面出現自己碰到自己的地方了。可能有好幾個球面隆起的面相碰，我們任取其中兩個打通相連，這時球面就不再是球面而變成另一種閉曲面了，你不難看出，這個閉曲面實際上是輪胎面。我們當然可以繼續打通其它相碰之處，直到完全變成開頭所取的閉曲面，但第一次打通已使我們看到原閉曲面是沒有單連通性了。

這就表明，３維空間中的閉曲面要麼是單連通的球面，要麼是沒有單連通性的其它曲面。因此，３維空間閉曲面中只有球面是單連通的，換句話說，３維空間中的單連通閉曲面必是球面。

這個猜測能不能推到４維空間中的３維閉曲面上去呢？這就是有名的龐加萊猜想：在４維空間中，３維單連通閉曲面必定是球面。

在３維球面上打一個洞就能把球面展成３維平面，這使我們看到３維球面的單連通性。３維輪胎面可以這樣來形成，在４維空間的３維平面中取一個２維球面及球面外一直線，使球面繞着直線轉並轉出３維空間、轉到４維空間中去，如此形成的曲面即為３維輪胎面。因此，３維輪胎面也有一中通的“洞”，同２維輪胎面一樣，曲面上圍繞“洞”的那個圓就沒有辦法在輪胎面上縮為一點。

仿照３維空間的情形，我們也可以這樣說明龐加萊猜想的正確性。首先，４維空間中不存在單面的即沒有內外的３維閉曲面，如果存在，你把這個曲面投影到某一３維空間中去就得到３維空間的單面的２維閉曲面了，這就導出矛盾。這樣，對於４維空間中任意一個３維閉曲面，因為它有裡面外面，我們總可以取到一個半徑適當的３維球面使它能完全放入閉曲面的內部。然後，我們令球面自由擴張，讓球面擴張到閉曲面的角角落落，有的球面部分貼着閉曲面內壁，有的球面部分向空的的地方隆起延伸，最後布滿閉曲面所有的空間。這也發生兩種情形：

第一，球面最後形成的曲面沒有自己與自己碰到的地方。這表明原閉曲面實際上也是一個３維球面。

第二，球面最後形成的曲面出現自己碰到自己的地方了。可能有好幾個球面部分相碰，我們任取兩個打通相連，這時球面就不再是球面而變成另一種閉曲面了。不難看出，這個閉曲面實際上是３維輪胎面。我們當然可以繼續打通其它相碰之處，直到完全變成開頭所取的閉曲面，但第一次打通已使我們看到原閉曲面是沒有單連通性了。

這就表明，４維空間中的３維閉曲面要麼是單連通的３維球面，要麼是沒有單連通性的其它曲面。因此，４維空間３維閉曲面中只有３維球面是單連通的，換句話說，４維空間中的３維單連通閉曲面必是球面。

如果你有興趣，你可以考慮更高維數空間的龐加萊猜想，它們像４維空間的龐加萊猜想一樣，已經被人們證明都是對的。

（後記：本來應該由數學家來寫這樣的文字，可是他們在忙於它事。筆者不揣淺陋補此大白。２００６年９月２６日）

HXWZ (06-09-28)