目前中文網上一個比較熱門的話題是龐加萊猜想的解決。粗看起來很奇怪，網上熱門的
話題一般是政治，體育或８２２８似的八卦。這抽象的數學猜想怎麼會熱起來？仔細看
看就發現因為這新聞里有兩個中國數學家，算是與政治掛上了鈎。又因為牽涉到丘成桐，
就有了點八卦的味道。再加上這裡面牽涉到的競爭不比體育比賽差。這麼多條件都具備
了，要想不熱也難。於是這抽象的數學猜想就在中文網上熱起來。事實上大多數參加討
論的人並不是完全懂得龐加萊猜想的真正內容，但這並不妨礙大家的討論。我自己是學
數學的，也曾搞過幾何拓的東西，乘這話題還沒有冷，也出來湊個熱鬧。
龐加萊猜想從數學上嚴格地講起來要牽涉到基本群，同胚，緊緻流形等概念，比較麻煩。
用大眾語言簡單說起來就是沒有洞的有限幾何體（緊緻流形）等同於球面。這猜想在一，
二維的情況很簡單。因為一維的緊緻流行只有圓，二維的緊緻流行由虧格唯一確定，也
沒什麼好說的。三維的情況就很難了，而且不是一般的難。龐加萊提出這個猜想後半個
世紀沒有大進展。雖然其間有許多人（包括一些著名數學家）宣布自己找到了證明，但
很快就被人發現了漏洞。後來大家都很小心，輕易不敢說自己解決了這個問題。直到六
十年代問題才開始有了比較大的突破。有人想三維不能解決，看更高維的情況行不行。
ＳＴＥＶＥ ＳＭＡＬＥ解決了高維中Ｎ＞＝５的情況。後來ＦＲＥＥＭＡＮ又解決了
Ｎ＝４的情況。他們兩人都為此得了數學界的最高獎菲爾茲獎。繞了一圈最後又回到了
Ｎ＝３這塊硬骨頭。
一般人可能覺得有點不好理解，為什麼高維的情況反到容易解決。大致說起來，當維數
很低的時候（比如Ｎ＝１，２），情況比較直觀，解起來很容易。當維數很高時（比如
Ｎ＞＝５），條件比較多，空間的限制也比較多，唯一確定就比較容易。在維數不大不
小的時候，情況反而最複雜。類似的情況在數學上還有別的例子。比如除了Ｎ＝４，任
意歐氏空間（Ｒ＾Ｎ）都只有唯一的微分結構，但Ｎ＝４時，Ｒ＾４上卻有無數的微分
結構。
很長一段時間Ｎ＝３的情況都沒有什麼新進展，直到１９８２年ＨＡＭＩＬＴＯＮ發明
了ＲＩＣＣＩ流的方法，Ｎ＝３的情況才開始有了突破，至少人們看到了解決問題的一
個新的方向。從前搞幾何的人都是以純幾何的方法搞幾何。比如蘇步青那一批，一大堆
張量指數搞得你眼花潦亂。後來丘成桐用偏微分方程的方法解決幾何問題，算是開創了
幾何分析的先河。我在北京讀研究生的時候正好是丘成桐得菲爾茲獎不久，中國數學界
幾何突然熱起來。搞方程的人去學幾何，搞幾何的人去學方程，大家都學非線性泛函。
到處都是幾何方面的學術會議，討論班。南開的，復旦的，我們這些研究生都去湊熱鬧，
也算是公費旅遊。當時最著名的是香山署期討論班，全國這方面的尖子學生都跑來了（
包括田剛）。後來在美國數學搞得很好的人中，有不少都是當年香山討論班出來的。扯
遠了，還是回頭講ＲＩＣＣＩ流。
ＲＩＣＣＩ流走的也是偏微分方程的路子。在大家不知道如何往前時，ＲＩＣＣＩ流給
大家指明了方向。ＨＡＭＩＬＴＯＮ等沿着ＲＩＣＣＩ流向前走，掃除了前進路上的不
少障礙。可惜走了一陣就走不動了。因為順着ＲＩＣＣＩ流走到了極點（奇異點），沒
有方向了。實際上現在大家關心的已經不僅僅是龐加萊猜想，而是更廣泛的ＴＨＵＲＳ
ＴＯＮ猜想。ＴＨＵＲＳＴＯＮ把三維流形分為八類，其中一類就是球面。解決了它就
含帶解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想的解決在奇異點停了下來。直到２００２－２００３
年ＰＥＲＥＬＭＡＮ提出他有辦法解決奇異點問題，並寫出了大綱，據說是沿着這個大
綱就可以解決龐加萊猜想。他的大綱有很多創新，而且這些創新還可以用到別的問題的
解決之中。算是對數學做出了突出貢獻，因此今年的菲爾茲獎給了他一份。ＰＥＲＥＬ
ＭＡＮ是不世奇才，牛人一個。據說他拒絕接受菲爾茲獎。關於他的故事可以另寫一大
篇文章，網上很多，我就不在這裡抄書了。
龐加萊猜想熱起來的主要原因是因為有爭議。爭議最大的是ＰＥＲＥＬＭＡＮ的大綱，
這大綱究竟算不算完整證明。大綱出來後，別人看不太懂。甚至有人去電郵直接了當的
問Ｐ“你是不是說根據你這些東西就可以證明龐加萊猜想”，他的回答很簡單：“是的”。可
是，按照傳統，完整的證明必需每一部都寫得清清楚楚，不能有含糊的地方。Ｐ的大
綱有很多跳躍，不清楚的地方很多，如果拿它去答卷，一定不能算通過。但大綱給出了
整個證明的思路，尤其是關鍵地方都有前人想不到的突破，如果這些跳躍都能通過，這
大綱就應該算是解決了問題，算不算證明就不重要了。這些跳躍間到底有沒有問題，不
同的人有不同的看法。Ｐ的大綱剛出來後，我正好有幸與ＪＯＨＮ ＭＩＬＮＯＲ單獨
吃過一頓午飯。他是幾何大師並得過菲爾茲獎，除了談別的以外，我就順便問了他關於
Ｐ的證明，他說他認為Ｐ的證明可以ＨＯＬＤ ＷＡＴＥＲ。也就是說證明可行，即使
有漏洞也是可補的小漏洞。當然也有丘成桐這樣的也得過菲爾茲獎的大師說Ｐ的大綱不
能算完全證明。大家各持己見。
現在的情況有點象爬山。大家看着一個高峰無從下手，不知從哪裡上。這時過來一個登
山高手（Ｐ）給大家指出幾個可以打樁的地方。這些地方連起來依稀就是一條上山的路
線。常人看見這些樁打得太遠，說是跳不過去。但登山高手臂力大，彈跳好，認為這些
樁足夠了。這就出現了分歧。顯然，除了Ｐ本人以外，別的人基本都沒覺得這些樁與樁
之間可以輕易跳過。否則也不需要一大堆人（都是世界一流登山高手）研究好幾年都不
敢下結論。大家覺得最好的辦法是實地走一走。於是中國的兩個登山高手曹朱在Ｐ打的
四十多個樁之間又打了三百多過小樁（據說這裡面還有好幾個大樁），走到了頂峰。看
起來這應該說明Ｐ指的上山路線是可行的。但據說曹朱打的幾個大樁在登山過程中也起
到了很大的作用。這作用的大小不同的人有不同的看法。按國際數學大會給Ｐ發菲爾茲
獎的說明材料，別人的工作只是在驗證Ｐ的思路。我個人認為這有點不公平，或者說把
曹朱他們的工作看得太輕。任何事情都有個度量，如果Ｐ的四十多個樁可以認可，那麼
少一個樁可不可以？少兩個可不可以？三十幾個可不可以？缺的那些樁都可以由別人補
上。如果走到極限，我們甚至還可以說ＨＡＭＩＬＴＯＮ的ＲＩＣＣＩ流早就給出了上
山方向，別人的工作（包括Ｐ）只是在驗證Ｈ的思路。如果說Ｈ的思路有走不通的地方，
Ｈ也可以幾年不理，讓別人去走。現在走通了說明Ｈ的思路正確。當然，這只是我的很
極端的比喻，只是想說明任何事都有個度量，怎樣說明Ｐ的四十多個樁子就是恰到好處，
這應該只有有一定級別的登山高手可以判定。不過，丘成桐說曹朱的工作有３０％的份
量，我又覺得說得太重。在大家完全沒有方向時，Ｐ出來給大家指出了方向，而且現在
看來是可行的方向，光這一點就應該占一大半的份量。再分一些給Ｈ，曹朱是不應該有
３０％的。我個人覺得比較公平的份量應該是１０％左右。然而，由於丘成桐的搶功，
大家在糾正丘的誇大時又矯枉過正，把曹朱的工作說得一錢不值。反而使他們失去了應
該得到的份量。這是我個人的看法。我的看法當然不重要（或者說完全不重要），重要
的是那些登山高手們怎樣看。據說有登山高手（包括Ｈ）說曹朱打的樁子也有創造性。
這就夠了，能夠先於所有人成功地登上頂峰（哪怕是用了別人打好的樁子），而且被許
多同行承認有創造性，這就很了不起了。作為數學家應該可以滿足了。這理要補充說明
一下，另外還有兩個登山隊也順着Ｐ的樁子獨立地登上去了，同樣也打了好幾百個小樁
子。
網上討論的另一個話題是：龐加萊猜想與哥德巴赫猜想哪個更重要。由於徐遲的報告文
學，中國人對可德巴赫猜想可算是情有獨中。科學的皇冠，皇冠上的珍珠。當丘成桐說
龐加萊猜想比哥德巴赫猜想更重要時，許多人就不高興了。龐加萊猜想怎麼能比皇冠上
的珍珠更重要呢？一般來說，數學上不同領域的東西很難比較，因為不太容易建立參照
系，除非有明顯的差別。比如九點圓定理與代數基本定理，雖然一個幾何，一個代數，
但後者要比前者重要的多的多。龐加萊猜想與哥德巴赫猜想都是著名猜想，從知名度來
說很難分出高下（在中國人中，哥比龐更大）。但另外有幾個參照系可以用。一個是看
業內人士對它的重視程度。從這點來講，龐加萊猜想比哥德巴赫猜想要大。龐加萊猜想
的幾個特例的解決都被授與菲爾茲獎，加上最後這一次，一共三枚。而哥德巴赫猜想從
王元潘承洞的１＋５，１＋４到陳景潤的１＋２最多就是陳被邀請到國際數學大會作４５
分鐘報告。另一個差照系就是看其所用的方法能否對別的題目有用。以我看，篩法大概
是篩不出什麼新名堂了，但這ＲＩＣＣＩ流大概還可以流一陣。另外還有一個參照系就
是結果的應用。哥德巴赫猜想研究的是一個比較孤立的問題，我看不出它在別的方面的
應用。龐加萊猜想研究的是三維空間的一般幾何體，被應用到別的學科（尤其是物理）
可能性比較大。
除了古時候的初等數學以外，現代抽象數學定理要應用到別的學科一般都要等很長時間。
黎曼搞的微分幾何開始看不出用處，後來卻成了相對論不可缺少的工具。龐加萊猜想現
在還看不出實際可應用的地方，但以後對宇宙的理解有用是很有可能的。因為我們生活
在三維空間裡，對三維空間裡的幾何體（包括宇宙本身）的理解是很重要的。所以，丘
成桐關於龐加萊猜想的演講可以放到國際超弦會議上去講。雖然按超弦理論，我們生活
的時空有可能是１０維的，甚至２６維的。但看得見的時空還是四維的（三維空間加一
維時間），所以三維對我們很重要。
各個參照系比下來，如果要讓我投票，我還是投龐加萊猜想一票。
網上有些關於這個話題的文章加進了不少個人攻擊成分，甚至把其它地方的糾紛也加了
進來，這就沒有必要了。Ｐ的大綱出來好幾年了，這其間許多一流數學家都在努力研究，
試圖跳過大綱所空出來的間隙。別人沒看懂以前，曹朱看懂了。不管是創新也好，幫人
驗證也好。別人沒做出來以前，曹朱做出來了。這就很了不起，中國人應當為他們感到
驕傲。我為他們感到驕傲。
