自變量的值無限趨近但不等於某規定數值時,或向正向或負向增大到一定程度時,與數學函數的數值差為無窮小的數

在高等數學中，極限是一個重要的概念。

　　極限可分為數列極限和函數極限，分別定義如下。

　　首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計算方法的情況下，要計算其面積。為此，他先作圓的內接正六邊形，其面積記為A1，再作內接正十二邊形，其面積記為A2，內接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數加倍，當n無限增大時，An無限接近於圓面積，他計算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+1

　　數列極限：

　　定義：設|Xn|為一數列，如果存在常數a對於任意給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式

　　|Xn - a|<ε

　　都成立，那麼就稱常數a是數列|Xn|的極限，或稱數列|Xn|收斂於a。記為lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

　　數列極限的性質：

　　1.唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的；

　　2.有界性：如果一個數列收斂（有極限），那麼這個數列有界。但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。

　　3.保號性：如果一個數列{xn}收斂於a，且a>0（或a<0)，那麼存在正整數N，當n>N時，都有xn>0(或xn<0)。

　　4.改變數列的有限項，不改變數列的極限。

　　幾個常用數列的極限：

　　an=c 常數列 極限為c

　　an=1/n 極限為0

　　an=x^n 絕對值x小於1 極限為0

　　函數極限的專業定義:

　　設函數f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式：

　　|f(x)-A|<ε

　　那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x。時的極限。

　　函數極限的通俗定義：

　　1、設函數y=f(x)在(a,+∞)內有定義，如果當x→+∞時，函數f(x)無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x趨於+∞時函數f(x)的極限。記作lim f(x)＝A ，x→+∞。

　　2、設函數y=f(x)在點a左右近旁都有定義，當x無限趨近a時（記作x→a），函數值無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x無限趨近a時函數f(x)的極限。記作lim f(x)=A ，x→a。

　　函數的左右極限：

　　1：如果當x從點x=x0的左側（即x〈x0）無限趨近於x0時，函數f(x)無限趨近於常數a,就說a是函數f(x)在點x0處的左極限，記作x→x0-limf(x)=a.

　　2:如果當x從點x=x0右側（即x>x0)無限趨近於點x0時，函數f(x)無限趨近於常數a,就說a是函數f(x)在點x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.

　　註：若一個函數在x（0）上的左右極限不同則此函數在x（0）上不存在極限

　　註：一個函數是否在x(0)處存在極限，與它在x=x(0)處是否有定義無關，只要求y=f(x)在x(0)近旁有定義即可。

　　函數極限的性質：

　　極限的運算法則（或稱有關公式）：

　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)

　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)

　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )

　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n

　　以上limf(x) limg(x)都存在時才成立

　　lim(1+1/x)^x =e

　　x→∞

　　無窮大與無窮小：

　　一個數列（極限）無限趨近於0，它就是一個無窮小數列（極限）。

　　無窮大數列和無窮小數列成倒數。

　　兩個重要極限：

　　1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0

　　2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→∞ （e≈2.7182818...，無理數）

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　　舉兩個例子說明一下

　　一、0.999999……＝1？

　　（以下一段不作證明，只助理解——原因：小數的加法的第一步就是對齊數位，即要知道具體哪一位加哪一位才可操作，下文中0.33333……的加法使用小數點與小數點對齊並不可以保證以上標準，所以對於無限小數並不能做加法。既然不可做加法，就無乘法可言了。）

　　誰都知道1/3＝0.333333……，而兩邊同時乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着彆扭，因為左邊是一個“有限”的數，右邊是“無限”的數。

　　10×0.999999…… —1×0.999999……=9=9×0.999999……

　　∴0.999999……=1

　　二、“無理數”算是什麼數？

　　我們知道，形如根號2這樣的數是不可能表示為兩個整數比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計算之後才能確定，且無窮無盡，這種沒完沒了的數，大大違背人們的思維習慣。

　　結合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來界定和研究這種“沒完沒了”的數，這就產生了數列極限的思想。

　　類似的根源還在物理中（實際上，從科學發展的歷程來看，哲學才是真正的發展動力，但物理起到了無比推動作用），比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時間差的比值表示，若時間差趨於零，則此比值就是某時刻的瞬時速度，這就產生了一個問題：趨於無限小的時間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個意義是指“分析”意義，因為幾何意義頗為直觀，就是該點切線斜率）？這也迫使人們去為此開發出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。

　　真正現代意義上的極限定義，一般認為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當時是一位中學數學教師，這對我們今天中學教師界而言，不能不說是意味深長的。