從０的階乘等於１說起

學過一點算術的人都知道，０不能做除數。　這裡的除數就是分母的角色，也就是說０不能做分母。這恐怕是學習數學中遇到的第一道坎。如果過不了這道坎，後面的數學就可能更難。像以往一樣，我這裡說的是純數學中的基礎部分；其他很多專業里也需要懂得這一點。

到了一定的程度，我們需要用到０的階乘。首先，我們說說什麽是“N的階乘”。　這個“N”其實幾乎可以是任何數，甚至N可以是幾乎任何複數。

自然數有無窮個，這裡就不說了。 我們先談N是自然數（也就是正整數）的情形。如果N是一個自然數，　那麼N的階乘定義為從１到這個N之間（包括N）的所有自然數的乘積。比如N=5，那麼５的階乘就是　５！＝（１）（２）（３）（４）（５）。這裡“５！”就是５的階乘之標準記號；例外為了在網上的方便我用了括號來表示乘積。比如，（２）（３）就是２與３的乘積。使用這個定義和記號，我們就有５！＝１２０。

推而廣之，為了方便數學中要用到歸納定義。　就是說１！＝１，然後如果N>1那麼N!＝（N）（N-1)!。請讀者注意，這裡階乘比乘法優先，就是說我們先算出（N-1)!然後乘以N就得到N的階乘N!。這一點很可能是數學中的又一道坎，我們必須要想到N可以是任何一個比1大的數。

對於學數學的人，不管你升學考多少，我這裡提到的兩道坎沒有商量的餘地。過不了這種類似的坎，繼續搞數學就可能不再是適當的選擇；　當然我指的是純數學。數學教育與應用數學可以適度地讓步。

回到前面提到的歸納定義。　歸納定義的好處是我們不必（也不可能）寫出無窮個式子，而從上面這個公式中可以得到任何N的階乘。 也就是說，只要我們有了（N-1)!， 我們就有了N!。

我們還沒有定義0的階乘，上面的定義不能用。怎麼知道0的階乘呢？ 這麼說吧，我們有了

2！=（2）1！，記住這裡中間的乘號沒有寫出，在上面用過的括號也為了看起來舒服而省略了。然後，我們也有3！=（3）2！，4！=（4）3！。 這就是從對應一個小一號的數求出階乘就可以對應這個緊跟着的大一號的數之階乘。

我們把公式倒過來，就有3！=4！/4，這裡記號“/”是指除法或者說我們用了分數。 接下去，我們還有2！=3！/3，1！=2！/2。竅門就在這裡，後一個等式可以通過把前一個等式里每一個數減少１來得到。我們把這一段的三個等式一直往0推，就發現我們應該有0！=1！/1才好。 如果是這樣，我們不就有了0！=1了嘛！

這個不是很嚴格，我們還有別的辦法來嚴格地說明為什麽要定義0！=1為好。 一般來說，數學中引進一個新的慨念，主要是看它是否與其他的東西相匹配。就是說不產生邏輯上的混亂，而是要保證邏輯上的一致性。

這個問題就只說到這裡。 現在由此說開去，可以涉及到很高深的數學。 我在前面已經提到這個N甚至可以幾乎是任何複數。簡單點說，我們希望把沒有對其定義階乘的任何數，都要考慮是否可以定義一個階乘。比如0.5=1/2的階乘是多少？ 直觀上，這個問題可笑了，但是邏輯上我們還非得這麼做不可。 而且答案可能有好多好多種，其中最常用的叫做歐拉伽傌函數。這裡不方便用伽傌記號，我就還是用這個感嘆號。

對於自然數N，我們已經定義了N!。推廣以後，我們得到1/2的階乘等於Pi（這個Pi是大家都知道的那個叫做圓周率的數，大約等於３.１４１５９……）的平方根再除以2，有點奇怪吧！這個新的階乘對任何正數都有定義，然後就推廣到對幾乎所有的複數也有階乘的定義。這個叫做歐拉伽傌的函數有着非常重要的用途。

在結束這篇日誌的時候，我告訴網友們一個有一點點類似方法定義的函數。叫做黎曼zeta函數，這裡zeta是一個希臘字母。這個函數是這樣定義的，請網友耐心因為很有點麻煩。　首先我們用N與上面一樣，記住N幾乎可以是任何複數。　不懂複數的就只說N是幾乎任何實數就是了。　這一次，我們要考慮N次方；而且是任何自然數的N次方。我們用３^2表示３的２次方，　這個“^”就表示“次方”。先有1^N, 2^N, 3^N, 4^N,　一直到所有自然數的N次方，然後把這所有的N次方給全部加起來，把這個加起來的“和”叫做黎曼ｚｅｔａ函數。這與階乘里把所有的數乘起來類似，只是那裡是有限個數乘起來，這裡是無窮個數（每個數是一個N次方）加起來。對此我只能點到為止，因為恐怕超過了絕大多數網友的期待。

這裡提到的歐拉伽傌函數與黎曼ｚｅｔａ函數都是非常重要的特殊函數。它們都是數學分析範圍里的複變函數，就是複數作為變量，而得出的結果也是複數的函數。把這兩個函數邏輯性地揉在一起，就得到新的一個函數叫做黎曼ｘｉ函數。它們在數論研究中占有非常重要的位置，屬於解析數論的核心部分。不管是研究這中間任何一個函數，還是合起來研究它們在數論中的應用，都是數學中非常重要的領域。這裡的研究對於整個數學甚至整個科學領域都有着不可估量的重大影響。