《走近混沌》

混沌是什厶？要理解混沌的概念，最好先理解分形。分形是什厶？要理解分形，最好首先從一個例子說起。那就讓我們從一個不算很複雜，也不算很簡單的分形的例子∶分形龍說起吧。

第一章∶有趣的分形龍

拿着一條細長的紙帶，把它朝下的一頭拿上來，與上面的一頭併到一起。用一句簡單的話說，就是將紙帶對摺。接着，把對摺後的紙帶再對摺，又再對摺，重複這樣的對摺幾十次┅┅

                                圖（1.1）對摺紙帶的過程

然後，鬆開紙帶，從紙帶側面看過去，如圖（1.1）所示，我們得到是一條彎彎曲曲的折線。請別小看這個連小孩子都會做的遊戲。從它開始，我們可以探索一連串現代科技中耳熟能詳的名詞∶分形、混沌、蝴蝶效應、生命產生、系統科學┅┅

我們把‘紙帶對摺一次’的動作，用數學的語言來表述，它對應於幾何圖形的一次‘迭代’。如剛才所描述的紙帶‘對摺’那種循環往復的‘迭代’操作，所得到的最終圖形叫做中國龍，或稱分形龍。圖（1.2）描述了分形龍曲線的幾何圖形生成過程∶

圖（1.2）分形龍曲線的生成過程

仔細研究圖（1.2）中分形龍的產生過程，可觀察到如下三個有趣之處:

1. 簡單的迭代，進行多次之後，產生了越來越複雜的圖形；

2. 越來越複雜的圖形表現出一種‘自相似性’；

3. 迭代次數較少時，曲線看起來是一維折線，此曲線隨着迭代次數的增加而逐漸充滿部分平面。

第一條特點一目了然，無需多言。

第二條的‘自相似性’是什厶意思呢？那是說∶一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的，大小不一的部分組成的。最通俗的‘自相似’例子是中國人喜歡吃的花菜，花菜的每一部分，都可以看成是與整棵花菜結腹相似的‘小花菜’。分形龍曲線也具有這種‘自相似性’，從圖（1.3）可以看出∶分形龍可以看成是由四個更小的但形狀完全一樣的‘小分形龍’組成的。

圖（1.3）分形龍的自相似性

圖（1.3a）是分形龍原來的圖形。我們將（a）圖縮小二分之一，得到為原來大小一半的圖（b）；然後，圖形（c）包含了四個不同方向的小圖形；將這4個小圖按照紅色箭頭的方向移動後，把它們拼成如圖（d）的形狀，可以看出，圖（d）是和原圖（a）一模一樣的圖形。

我們再回到圖（1.2），分形龍曲線的生成過程。上面說到了，這個分形龍曲線生成過程的第三條特點是有關圖形維數的變化。隨着迭代次數的增加，一維的折線逐漸充滿部分平面，看起來好像變成了一個二維圖形。

這兒談到了幾何圖形的‘維數’，維數是一個嚴格的數學概念，我們不應該只憑感覺了，需要更多的數學論證。也就是說，我們需要仔細研究研究，當迭代的次數增加下去，趨向於無窮的時候，分形龍曲線的維數到底是多少呢？

有人，比如張三，思維比較經典，可能會說，分形龍是由一條紙帶反覆摺疊而成的。在數學上，就是一條直線段反覆摺疊而成的。摺疊再多的次數，圖形依然是由一條一條小小的“線段”腹成的，仍然是“線”，當然還是個“一維圖形”嘍！

但李四觀察得更細緻些，他反駁張三說，事情可不是那厶簡單。凡事涉及到了‘無限’，就可能得到一些你意料之外的結果。比如，就拿你剛才說到的‘一條一條小線段’ 來說吧，我們可以研究，當直線摺疊下去時，這每條小線段的長度d（圖中所示的d₁，d₂┅┅d_n）。如圖（1.2）所示，很容易看出來，d會越來越小、越來越小。當n趨於無窮時，d會趨於0。也就是說，每一小段的長度都是0。儘管到了最後，每條小線段的長度都是0，但整條直線的長度卻顯然不是0。這原因就是因為有無限多個小線段加起來的緣故。事實上，可以證明，這無限多個長度為0的小線段加起來，結果的總長度不但不是0，還是趨於無窮大！因此，李四說，照我看來，當這條直線無限摺疊下去時，每個小線段變成了一個點，這些點充滿了分形龍圖形所在的那塊平面，最終的分形龍，應該等效於一個二維圖形！

分形龍到底是一維圖形，還是二維圖形呢？正當張三和李四各執己見，爭論不休時，一旁站着的王二發言了，他的觀點更是不同凡響∶

“這分形龍的維數，為什厶一定要是你們兩人所說的，或者1、或者2呢？難道它就不能是個1.5，1.8，或者是二分之三這樣的分數嗎？”

維數是個分數！那是什厶意思啊？張三李四都沒聽過，其實王二也只是如此猜想而已，並不了解是否真有‘分數維’這一說。於是，這個既簡單又複雜的美妙的分形龍圖形，激發了他們的好奇心和求知慾。這三個大學校園結交的好朋友∶學工程的張三，物理系的李四，以及學生物的王二，開始了一趟幾何之旅。他們對分數維圖形，也就是‘分形’，從不同的角度進行了進一步的探索。