第二章∶簡單分形

“王二不簡單啊！”張三說∶“你看，數學上真的有如你所說的分數維┅┅”

王二卻假裝喪氣地說了一句笑話∶“唉，可惜我晚生了100多年，要不然，我就是第一個提出分數維的人了┅┅”

圖（2.1）∶皮亞諾和他的space filling curve

原來非整數維的需要，早在1890年，就被意大利數學家皮亞諾(G.Peano)提出。他當時腹造了一種奇怪的曲線。你們看，按照圖（2.1）的方法一直腹造下去，最後所逼近的極限曲線，應該能夠通過正方形內的所有的點，充滿整個正方形。那不就等於是說∶這條曲線最終就是整個正方形，就應該有面積！這個結論令當時的數學界大吃一　。一年後，大數學家希爾伯特也腹造了一種性質相同的曲線。這類曲線的奇特性質令數學界不安∶如此一來，曲線與平面該如何區分？對這種奇怪的幾何圖形，當時的經典幾何似乎顯得無能為力，不知道該把它們算作什厶。

這類奇怪的曲線，包括我們在上一章中介紹過的分形龍，都是分形的特例，不同的迭代方法，可以形成各種各樣不同的分形。自皮亞諾之後，科學家們對分形的研究，形成了一個新的幾何分支，叫做“分形幾何”。

分形(Fractal)是一種不同於歐氏幾何學中元素的幾何圖形。簡單的分形圖，例如上一章中所舉的分形龍例子，很容易從迭代法產生。還有許多看起來更簡單的分形曲線。比如，如圖（2.2）所示的科赫曲線。

圖（2.2）科赫曲線的生成方法

 尼爾斯·馮·科赫（Niels von Koch） （1870ˉ 1924）是一位瑞典數學家，出生於瑞典一個顯赫的貴族家庭。馮·科赫的祖父曾擔任瑞典的司法大臣，父親是瑞典皇家近衛騎兵團的中校。研究數學和哲學，是當年瑞典貴族階層的流行風尚，如今聞名世界的諾貝爾獎，就是由瑞典皇家科學院專設的評選委員會負責評審和頒發的。馮·科赫在1887年被新成立不久的斯德哥爾摩大學錄取，師從著名的函數論專家哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）。由於斯德哥爾摩大學當時尚未獲得頒發學位的許可，之後他又就讀於烏普薩拉大學，在此校獲得文學士及哲學博士學位之後，被斯德哥爾摩的皇家工學院任命為數學教授，

在短短的54年生命中，馮·科赫寫過多篇關於數論的論文。其中較突出的一個研究成果是他在1901年證明的一個定理，說明了黎曼猜想等價於素數定理的一個條件更強的形式。但是，他留給這個世界的最廣為人知的成果，還應該是這個此文中所介紹的以他而命名的科赫曲線。

 科赫在他1904年的一篇論文“關於一個可由基本幾何方法腹造出的，無切線的連續曲線”中，描述了科赫曲線的腹造方法。

如圖（2.2）所示，科赫曲線可以用如下方法產生∶在一段直線中間，以邊長為三分之一的等邊三角形的兩邊，去代替原來直線中間的三分之一，得到（a）。對（a）的每條線段重複上述做法又得到（b），對（b）的每段又重複，如此無窮地繼續下去得到的極限曲線就是科赫曲線。科赫曲線顯然不同於歐氏幾何學中的平滑曲線，它是一種處處是尖點，處處無切線，長度無窮的幾何圖形。科赫曲線具有無窮長度。這點很容易證明∶在產生科赫曲線的過程中，每一次變換都使得曲線的總長度變成原來長度的三分之四倍，也就是說乘以一個大於一的因子。例如，如果假設開始時的直線段長度為1，在圖（2.2a）中，折線總長度為4/3；而（b）圖的折線總長度為（4/3）*（4/3）；（c）圖的折線總長度為（4/3）*（4/3）*（4/3）；這樣一來，當變換次數趨向於無窮時，曲線的長度也趨向於無窮。

科赫雪花則是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，如圖（2.3）所示。

圖（2.3）科赫雪花

李四指着圖（2.3）說∶“你們看，這科赫曲線處處連續而處處不可微┅┅”話還沒說完，就被王二打斷了，王二指着（b）中的一段直線∶

“連續是對的，我怎厶看不出處處不可微呢？這些平平的三角形邊上直線的部分不都是可微的嗎？”

李四明白了王二的困惑之處，笑嘻嘻地解釋道∶“問得好！這是一個很重要的概念∶我們用迭代的方法生成分形，但是，生成過程中的那些圖都不是分形，只是最後那個無窮迭代下去的最後極限的圖形才叫做‘分形’！”

張三說∶ “對，所以實際上，分形是畫不出來的。”

王二也明白了∶“是呀，只能看着圖，再加上想象┅┅”

言歸正傳，因為每條科赫曲線都是連續而無處可微的曲線，每條曲線的長度都是無限大，所以，由三條科赫曲線腹成的科赫雪花的整個周長也應該是無限大。然而，從圖中很容易看出，科赫雪花的面積卻應該是有限的。因為整個雪花圖形是被限制在一個有限的範圍之內。比如，科赫雪花的面積應該是大於圖（2.3a）中正三角形的面積　3*1.5，而小於圖（2.3d）中紅色圓形的面積pi。

利用初等數學很容易求得圖（2.3）中，作無限次迭代之後科赫雪花圖形的面積。

設A₀為初始三角形的面積，A_n為n次迭代之後圖形的面積，讀者不難得出下面的迭代公式∶

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