第十五章：超越時代的龐加萊

70年代，當種種學科的非線性研究匯成一股洪流時，人們才認識到對此領域早已有先驅者捷足先登。科學界對此課題的研究, 可追溯到1890年法國數學家龐加萊為解決天體力學中的‘三體問題’所作的工作。

李四摸了摸大腦袋，對張三說∶“你不是正在上一門天體力學的課，也聽過三體問題嗎？你先簡單介紹介紹天體力學和其中的三體問題吧。”

張三說，我還剛學，知道得不多哦，反正拋磚引玉吧。講到天體力學，我只好還是回到牛頓力學時代啦。也許還要追溯到更早一些，其實，對天體運動的觀測和研究，可算是人類最早期從事的科學活動。遠在公元前一、二千年，中國和其他文明古國就開始用太陽、月亮等天體的運動來確定季節，研究天象，預報氣候。後來的事你們都知道的∶哥白尼1543年提出日心說，這個學說打擊了教會，哥白尼因此而受到迫害，之後的布魯諾因宣揚日心說被教會活活燒死。開普勒比較幸運，碰到了一個好老師第谷。第谷將他幾十年幸苦得來的大量行星觀測資料，毫不保留地全給了開普勒，這樣，才有了著名的開普勒行星運動三大定律。牛頓在開普勒定律的基礎上，總結出了經典力學著名的牛頓三大定律。

再後來，開普勒走了，牛頓走了，拉普拉斯也走了。幾位大師創立了天體力學，但也留下了有關天體運動的種種問題和困難。唉，我也講個古董故事吧┅┅

故事發生在一百多年前的瑞典。瑞典對現代科學技術的發展做出了卓越的貢獻，每年由瑞典國王頒發的各項諾貝爾獎就是一例。人們現在都知道，科學界有諾貝爾獎，電影界有奧斯卡獎。但可能卻很少人知道，也曾經有一個頒發給數學家的奧斯卡獎哦！那是在1887年，也就是諾貝爾剛發明了無煙炸藥的那一年，瑞典有位開明而又喜愛數學的國王——奧斯卡二世，他當時贊助了一項現金獎勵的競賽，徵求對四個數學難題的解答。其中第一個是有關於‘太陽系的穩定性’問題

太陽系的穩定性問題早就被牛頓提出。有些人憂心重重，陷入了杞人憂天的困境，經常有人設想出一些無法挽救的、災難性的後果。比如說∶擔心月亮某一天是否會朝地球猛撞過來？或者地球將會逐漸不斷的靠近太陽，或者不斷地遠　太陽，那樣，人類則將因熱死或冷死而毀滅。

拉普拉斯深入研究過這個問題並得出結論，認為太陽系作為整體來說是一個穩定的周期運動系統。然而，拉普拉斯的結論並沒有消除人們，以及國王奧斯卡二世心中的疑慮，當他準備慶祝他的60歲生日之際，他的科學顧問（Gösta Mittag-Leffler）建議他用2500瑞典克朗的獎金懸賞，徵求這個困難問題的答案。

那個時代的物理學家們熱衷於觀測和研究天體，喜歡計算遵循牛頓丌有引力定律而互相吸引的多個天體將如何運動。物理學家們將此類問題稱為‘N體問題’。瑞典國王懸賞‘N體問題’的答案，實際上就是欲從數學上來探索‘太陽系的穩定性’。當N=1時，答案是顯而易見的，不受其他任何作用的1個物體，最後將歸於靜止、或勻速直線運動。對於N=2的情況，也就是二體問題，在牛頓時代就已被基本解決。兩個相互吸引的天體的軌道運動方程可以精確求解，得到各種圓錐曲線。比如，對太陽地球的近似二體系統，地球將繞着太陽作橢圓運動。

但是，實際存在的太陽系，並不是只有太陽和地球，而是一個由太陽及數個行星及其他許多物體腹成的N體系統。牛頓力學在解決二體問題上打了大　仗, 對三體問題卻是困難重重。多於三體時的解答，就更是望塵莫及了。

一年後，這筆獎金頒發給了33歲的數學家，當時已經是法國科學院院士的龐加萊。

圖（15.1）龐加萊

昂利·龐加萊（Henn Poincare，1854-1912）被公認是19世紀後和20世紀初的領袖數學家，是繼高斯之後對數學及其應用具有全面知識的最後一個人。

龐加萊出生於法國東北部一座小城，父親是一名醫生，家族中不乏名人，包括他的一位堂弟，是曾經多次出任法國總理、帶領法國度過第一次世界大戰的總統雷蒙·龐加萊。

小時候的昂利·龐加萊體弱多病，手腳不便，運動神經失調，後又因患上白喉而嚴重影響了視力，可算是個身體有缺陷的孩子。實際上，龐加萊直到58歲去世，一直未能逃避疾病的陰影，長期不斷地與病魔作不懈的鬥爭。生命的最後幾年，儘管龐加萊仍然活躍於科學界，但健康每況愈下，曾經兩次作前列腺手術。就在接受第二次手術的一星期之前，他還為法國道德教育聯盟召開的成立大會作演講，龐加萊在講話中激動而感慨地總結他自己一生的奮鬥經驗，說出一句肺腑之言∶“人生，就是持續的鬥爭！”。沒想到手術之後不到十天，這位天才的數學領袖人物，便丟下他為之鞠躬盡瘁的數學理論，駕鶴西去了。

也許正是由於太差的身體狀況，更促成了天才龐加萊的智力發展。人們沒想到這個看起來稍矮微胖、金色鬍鬚、大紅鼻子、“體格笨拙，藝術無能”、“心不在焉，不修邊幅”的人，對數學物理的許多方面，都做出了不凡的成就。

龐加萊的最大特點是他對數學物理各個領域的眼光和見識。他開創微分方程解的定性研究、奠基拓撲學，提出幾十年後才被人證明了的龐加萊猜想、不動點定理等。�普f他不關心嚴格性，以直覺立論，忽視細節，不喜歡嚴密邏輯，認為邏輯無創造性，限制思想。龐加萊就像是一隻辛勤的蜜蜂，在數學和理論物理的花園裡飛來飛去，採集百花之精華，釀成最甜美、最富營養價值的蜂蜜，呈現給後人。

這裡插上一段令人遺憾、又令人費解的史話∶為什厶不是龐加萊第一個創立了狹義相對論？

圖（15.2）龐加萊與愛因斯坦在第一次索爾維會議上有一面之交。圖中龐加萊和居里夫人正討論問題，站在右後的愛因斯坦，似乎很關注他們討論的內容。

 (Source: Solvay Congress 1911)

早於愛因斯坦，龐加萊在1897年發表了一篇文章“The Relativity of Space”〈空間的相對性〉，其中已有狹義相對論的影子^（1）。1898年，龐加萊又發表《時間的測量》一文，提出了光速不變性假設。1902年，龐加萊闡明了相對性原理。1904年，龐加萊將洛倫茲給出的兩個慣性參照系之間的坐標變換關係命名為‘洛倫茲變換’。再後來，1905年6月，龐加萊先於愛因斯坦發表了相關論文∶《論電子動力學》。

一百多年後的今天，很難對此作出一個公正的評價。儘管當時的龐加萊已經走到了狹義相對論的邊緣，他談到了相對性原理，他深刻理解同時性的問題所在，他分析研究發展命名了洛倫茨變換群，他作出了不同慣性系中物理定律不變的假設。數學論證齊全，丌事已經俱備，但是，龐加萊始終未放棄‘以太’的存在，把這一切都認為是物質在一個靜止以太的框架中運動的結果。

也許是因為龐加萊當時已經年近半百，沒有了那伙年輕物理學家的狂熱勁？也許是因為他從小體弱多病而養成了凡事小心謹慎的習慣，形成了性格上的弱點，使他在革命性的新物理理論之前膽怯而畏縮不前？也許因為龐加萊是天才的數學家，但畢竟不是正統物理學家，缺乏對相對論這個革命理論物理意義的深刻認識？

參考資料∶

（1）“The Relativity of Space”http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/fr/poincare.htm

（2）龐加萊1905 paper, "Sur la dynamique de l'electron", Comptes Rendues 140, 1504-8,

（3）龐加萊1906 paper "Sur la dynamique de l'electron", Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 21, 129-176.

（4）龐加萊和愛因斯坦∶The Mystery of the Einstein Poincaré Connection, by Olivier Darrigol in Isis 95 (2004) 614ˉ626.

（5）龐加萊和愛因斯坦∶book by Peter L. Galison, Einstein's Clocks, Poincaré's Maps,

http://www.fas.harvard.edu/~hsdept/bios/galison-einsteins-clocks.html

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