把a分解成素數乘積，把b分解成素數乘積（即使相同的素數編號也不同）。因ab=cd，一般地，c是ａ素數集合子集和b素數集合子集連乘構成。設這個ａ素數集合子集連乘為y，這個b素數集合子集連乘為z。這樣c=yz。設這個ａ素數集合子集的非的連乘為x，這個b素數集合子集非的連乘為w。這樣d=xw, a=xy, b=yw 。

a^2+b^2+c^2+d^2 =x^2y^2+z^2w^2+y^2z^2+x^2w^2

=y^2(x^2+z^2)+w^2(z^2+x^2) = (y^2+w^2)(x^2+z^2)

這就證明了a^2+b^2+c^2+d^2 是合數。

對於c的特殊分布，證明簡單，從略。