把a分解成素数乘积，把b分解成素数乘积（即使相同的素数编号也不同）。因ab=cd，一般地，c是ａ素数集合子集和b素数集合子集连乘构成。设这个ａ素数集合子集连乘为y，这个b素数集合子集连乘为z。这样c=yz。设这个ａ素数集合子集的非的连乘为x，这个b素数集合子集非的连乘为w。这样d=xw, a=xy, b=yw 。

a^2+b^2+c^2+d^2 =x^2y^2+z^2w^2+y^2z^2+x^2w^2

=y^2(x^2+z^2)+w^2(z^2+x^2) = (y^2+w^2)(x^2+z^2)

这就证明了a^2+b^2+c^2+d^2 是合数。

对于c的特殊分布，证明简单，从略。