证明：

当a、b、c 是互不相等的有理数时，

1/[(a-b)^2] + 1/[(b-c)^2] + 1/[(c-a)^2] 肯定是一个有理数的平方。

令a-b=x, b-c=y, c-a=y                                                   (0)

1/[(a-b)^2] + 1/[(b-c)^2] + 1/[(c-a)^2] = 

(y^2 z^2 + x^2 z^2 + x^2 y^2)/(x^2 y^2 z^2)                (1)

从(0),我们知道

x+y+z=0                                                                          (3)

(x+y+z)^2=x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz = 0

xy + yz + xz = -(x^2 + y^2 + z^2)/2

(xy + yz + xz)^2 = [(x^2 + y^2 + z^2)/2]^2                   (4)

(xy + yz + xz)^2 =

(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 + 2xyyz +2yzxz +2xyxz =

(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 + 2xyz(y+z+x)=

(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2

这样，我们就得到

(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 = [(x^2 + y^2 + z^2)/2]^2      (5)

把(5)代入(1), 我们得到

1/[(a-b)^2] + 1/[(b-c)^2] + 1/[(c-a)^2] = 

[(x^2 + y^2 + z^2)/2]^2 / (xyz)^2

有理数的加减乘除运算的结果都是有理数，这样，们就证明了

1/[(a-b)^2] + 1/[(b-c)^2] + 1/[(c-a)^2] 肯定是一个有理数的平方。