一個正整數 

a(n-1)a(n-2)...a0         (1)

如果把a(n-1)移到個位,等於把a(n-1)10^(n-1)變成a(n-1)。

a(n-1)10^(n-1)-a(n-1)=a(n-1)(999..99)。所以，

把a(n-1)10^(n-1)變成a(n-1)也可以看成，在a(n-1)10^(n-1)的基礎上，減去若幹個9構成。求(1)根數的第一步是算

a(n-1)+a(n-2)+...+a0         (2)

這等於（1）減去若幹個9。

如果(2)不是個位數，再做類似計算，也就是再減去若幹個9。所以，

(1)的數根就是(1)減去若幹個9，使得結果是個位數。

所以(1)的數根可以寫成

a(n-1)a(n-2)...a0 - 9k         (3)

(3)是個位數。

另一個正整數 

b(n-1)b(n-2)...b0                (4)

其數根可以寫成

b(n-1)b(n-2)...b0 - 9m        (5)

(1),(4)的數根之和是(3)+(5),如果有進位再減9。得

a(n-1)a(n-2)...a0 + b(n-1)b(n-2)...b0  - 9i   (6)

(6)是個位數。

5)

(1)+(4)的數根是

a(n-1)a(n-2)...a0 + b(n-1)b(n-2)...b0  - 9j   (7)

(7)是個位數。結果與(6)相同。所以

兩數之和的數根，等於此兩數數根之和。

((1)-9k)((4)-9m)=(1)(4)-(4)9k-(1)9m+9k9m=(1)(4)-9i

由此，可以證明兩數之積的數根，等於此兩數數根之積。

其推論：完全平方數的數根，等於其平方根數根的平方。

一個正整數的數根可以是1,2,3,...9。經過枚舉，這些數根的平方的數根

是1，4，7，9之一。