你原先的那個證明思路是：

從97x^2+89、16x^2+89 和 2x^2+1 都是81的倍數，得出x必是11的倍數，即證得了x這個數的必要性：x必為11的倍數。且由證明過程中可知，x不可能小於11。

接着需證明某個x的11的倍數能使得97x^2+89 成為最小的完全平方數。

利用你先前引入的那個充要定理，可得x=11*80即是所求的這個數：

1】顯然，11*80是11的倍數，滿足x的必要性。

2】由於11被81除，其餘數就是11，且11<81；而80<81。故由你的那個充要定理，可知11*80就是所求的能使

y = 97x^2+89

成為完全平方數的最小數：因為在11和80中不可能分別再找到81的倍數了；11*80=880又是最低次冪：1次！