定義：

求

積分智力題試解

先討論被積函數的分母。f1(x) = 1 + x^0.5,   f2(x) = 1 + 1/f1(x),  f3(x) = 1 + 1/f2(x),

fn+1(x) = 1 + 1/fn(x)

fn(x) > 1

fn+1(x) - fn-1(x) = 1 + 1/(1+1/fn-1(x)) - fn-1(x) 

= (1 - fn-1(x) - fn-1^2(x))/(fn-1(x) + 1) < 0

這樣我們得到

fn+1(x) < fn-1(x)                        (1)

fn(x) > 1                                     (2)

(1) 說明x在（0，1) 區間奇數列單調減少，偶數列單調減少。（2）說明數列有下界。所以奇數列收斂，偶數列收斂。接下來看看數列的極限是什麼。在（0，1) 區間任取x0, 假設奇數列收斂於a, 根據遞推公式

fn+1(x0) = 1 + 1/(1+1/fn-1(x0))           (3)

得到

a = 1 + 1/(1+1/a)                                    (4)

解得

a = (1+5^0.5)/2                                      (5)

(3)也是偶數列的遞推公式，所以(5) 也是偶數列的極限值。奇偶列收斂於同一個極限，推出 fn(x0) 收斂。由於x0的任意性，fn(x) 收斂於常數 a。

所以  In 收斂於 1/a