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最近做的一題,本人自己做出了不到一半,現搬過來:
送交者: gugeren 2020年11月07日12:44:44 於 [靈機一動] 發送悄悄話

1】

在三條邊的邊長均為正整數的三角形中,有沒有哪個三角形的面積等於它的周長?如有,有多少個?是無限多個,還是有限多個?如果是有限多個,請列出每一個的邊長和面積。

請證明你的結論。

2】

在三條邊的邊長均為正整數的直角三角形中,有沒有哪個三角形的面積等於它的周長?如有,有多少個?是無限多個,還是有限多個?如果是有限多個,請列出每一個的邊長和面積。

請證明你的結論。


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  暫時知道兩個直角三角形:6,8,10和5,12,13。  /無內容 - 仙遊野人 11/07/20 (1778)
      這兩個是對的。一般三角形要“硬做”!  /無內容 - gugeren 11/07/20 (1815)
        設有△ABC周長和面積均為整數,與角相對的邊分別為 - 仙遊野人 11/07/20 (1766)
          用這個面積公式做,離得太遠了。考慮關於三邊的 - gugeren 11/07/20 (1752)
            我是先證明每個角的正、餘弦是小於一的有理數。也許沒用。  /無內容 - 仙遊野人 11/07/20 (1757)
              找到這幾個三角形,除了以上兩個直角三角形外,有 - 仙遊野人 11/08/20 (1748)
                用這個16(l+m+n)=lmn也行,一個一個地去套,看看 - gugeren 11/08/20 (1736)
                  其實取其一半簡化為4(i+j+k)=ijk, 對i,j,k求 - 仙遊野人 11/08/20 (1743)
                這兩組是對的。還有一組。要利用海倫面積 - gugeren 11/08/20 (1740)
                  以上的公式就是從海倫面積公式導出。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1727)
                    找到:6,24,29。若是要證明只有這幾組需要數論定理, - 仙遊野人 11/08/20 (1719)
                      更正:是6,25,29。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1706)
                        是的,就這3組;那直角三角形的2組也可以用 - gugeren 11/08/20 (1677)
                          但可以界定正整數解的範圍,以此決定全部解。我上面的題亦如是。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1667)
                        無需數論,只要變量到一定大時再無正整數解,充分利用變量對稱性  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1659)
          每個角的正弦餘弦都是不大於1的有理數。  /無內容 - 仙遊野人 11/07/20 (1626)
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