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串並聯電容問題(3)試解
送交者: 粱遠聲 2011年11月22日18:01:44 於 [靈機一動] 發送悄悄話
串並聯電容問題(3)試解

先把問題修改一下。在如下電路中,假設所有電容的初始電壓都是零。開關K處在
中間位置的時候(不扳上也不扳下),在A,B兩端加上電壓U後,將電壓撤去,讓 A,
B懸空。然後開關K扳上扳下10次後,求各A,B兩端的電壓是多少?




試解:

在A,B兩端加上電壓U後,(C串C串C)並(C串C串C)。每個電容上的電壓是 U/3,
每個電容的充電電量是

Q = CU/3

無論開關K扳下還是扳上都形成上下兩個獨立的迴路,電容的電壓,電量相對
中點(開關K)來說,都是對稱的。

現在把電容按位置編號列表:

C1        C2

C3        C4

C5        C6


再在把電容上的電量按位置編號列表:

Q1        Q2

Q3        Q4

Q5        Q6

因對稱性,無論開關K扳下還是扳上,都有 Q1 = Q6, Q2 = Q5, Q3 = Q4

現在分析上面的迴路。
將開關K扳下, C1並(C2串C4)。
將開關K扳上,(C1串C3)並C2。
因為Q3 = Q4,為簡化問題,我們可以認為:
將開關K扳下, C1並(C2串C3)。
將開關K扳上,(C1串C3)並C2。

開關扳動前,每個電容的電量都是CU/3。現在略去單位CU,每個電容的電
量都是1/3,列表如下

Q1 = 1/3     Q2 = 1/3

Q3 = 1/3 

K = 1:將開關K扳上,(C1串C3)並C2。(C1串C3)有電流流向C2,使得
(Q1+Q3) = Q2。過程列表如下:

Q1 = 1/3-1/3^2    Q2 = 1/3+1/3^2   

Q3 = 1/3-1/3^2    

==========>
 
Q1 = 2/3^2    Q2 = 4/3^2   

Q3 = 2/3^2    

K = 2:將開關K扳下,C1並(C2串C3)。(C2串C3)有電流流向C1,使得
(Q2+Q3) = Q1。過程列表如下:

Q1 = 2/3^2+4/3^3    Q2 = 4/3^2-4/3^3   

Q3 = 2/3^2-4/3^3        

==========>

Q1 = 10/3^3    Q2 = 8/3^3   

Q3 = 2/3^3

K = 3:將開關K扳上, ........
   
Q1 = 26/3^4    Q2 = 28/3^4   

Q3 = 2/3^4

每次扳動開關,Q1增加的電量與Q2減少的電量相等。也就是說 Q1+Q2
永遠=2/3

K = 10:
Q3 = 2/3^11
因對稱性,Q1+Q5 = 2/3。所以

Q1 + Q3 + Q5 = 2/3 + 2/3^11
考慮單位

Q1 + Q3 + Q5 = (2/3 + 2/3^11)CU

U1 + U3 + U5 = (2/3 + 2/3^11)U

所以,A,B兩端的電壓是(2/3 + 2/3^11)U


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