串並聯電容問題(3)試解

先把問題修改一下。在如下電路中，假設所有電容的初始電壓都是零。開關K處在
中間位置的時候(不扳上也不扳下)，在A，B兩端加上電壓U後，將電壓撤去，讓 A，
B懸空。然後開關K扳上扳下10次後，求各A，B兩端的電壓是多少？




試解：

在A，B兩端加上電壓U後，(C串C串C)並(C串C串C)。每個電容上的電壓是 U/3，
每個電容的充電電量是

Q = CU/3

無論開關K扳下還是扳上都形成上下兩個獨立的迴路，電容的電壓，電量相對
中點(開關K)來說，都是對稱的。

現在把電容按位置編號列表：

C1        C2

C3        C4

C5        C6


再在把電容上的電量按位置編號列表：

Q1        Q2

Q3        Q4

Q5        Q6

因對稱性，無論開關K扳下還是扳上，都有 Q1 = Q6， Q2 = Q5， Q3 = Q4

現在分析上面的迴路。
將開關K扳下， C1並(C2串C4)。
將開關K扳上，(C1串C3)並C2。
因為Q3 = Q4，為簡化問題，我們可以認為：
將開關K扳下， C1並(C2串C3)。
將開關K扳上，(C1串C3)並C2。

開關扳動前，每個電容的電量都是CU/3。現在略去單位CU，每個電容的電
量都是1/3，列表如下

Q1 = 1/3     Q2 = 1/3

Q3 = 1/3 

K = 1：將開關K扳上，(C1串C3)並C2。(C1串C3)有電流流向C2，使得
(Q1+Q3) = Q2。過程列表如下：

Q1 = 1/3-1/3^2    Q2 = 1/3+1/3^2   

Q3 = 1/3-1/3^2    

==========>
 
Q1 = 2/3^2    Q2 = 4/3^2   

Q3 = 2/3^2    

K = 2：將開關K扳下，C1並(C2串C3)。(C2串C3)有電流流向C1，使得
(Q2+Q3) = Q1。過程列表如下：

Q1 = 2/3^2+4/3^3    Q2 = 4/3^2-4/3^3   

Q3 = 2/3^2-4/3^3        

==========>

Q1 = 10/3^3    Q2 = 8/3^3   

Q3 = 2/3^3

K = 3：將開關K扳上, ........
   
Q1 = 26/3^4    Q2 = 28/3^4   

Q3 = 2/3^4

每次扳動開關，Q1增加的電量與Q2減少的電量相等。也就是說 Q1+Q2
永遠=2/3

K = 10：
Q3 = 2/3^11
因對稱性，Q1+Q5 = 2/3。所以

Q1 + Q3 + Q5 = 2/3 + 2/3^11
考慮單位

Q1 + Q3 + Q5 = (2/3 + 2/3^11)CU

U1 + U3 + U5 = (2/3 + 2/3^11)U

所以，A，B兩端的電壓是(2/3 + 2/3^11)U