找出最小的正整数，使得它的各个数位的数字之和，不能整除它的各个数字的立方和。

先讨论两位数，十位数字a，各位数字b。

(a+b)^3/(a+b)=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)/(a+b)=

(a^3+3ab(a+b)+b^3)/(a+b)

(a+b)^2 - 3ab =(a^3+b^3)/(a+b)               (1)

(1)说明，两位数，a,b不全为零，

           (a+b)一定能整除(a^3+b^3)             (2)

这说明，正整数从1到99都满足(2)。从100到110也都满足(2)。111，各个数位的数字之和能整除它的各个数字的立方和。112是第一个数，它的各个数位的数字之和，不能整除它的各个数字的立方和。

               (1^3+1^3+2^3)/(4)=10/4

不是整数。

所以，112是最小的正整数，其各个数位的数字之和不能整除其各个数字的立方和。