内接正多边形逼近圆周长。在一个单位圆上，做内接正n边形。给定一个很小的正数d，当n大于多少时，圆周长-正n边形周长<d？

解：

设内接正n边形的某一个边所对应的圆心角是2x, 也是对应的弧长。2x=2pi/n。根据圆面积，内接正n边形面积，外切正n边形面积的关系，得到如下不等式

                    sin(x) < x < tan(x)

   x - sin(x) < tan(x) - sin(x) = sin(x)(1-cos(x))/cos(x)=sin(x)(2sin^2(x/2))/cos(x)

   x - sin(x) < sin(x)(2sin^2(x/2))/cos(x) < x^3/(2cos(x))

               2nx - 2n sin(x) < 2n x^3/(2cos(x))

                  2pi - 2n sin(pi/n) < 2n(pi/n)^3/(2cos(pi/n))      (1)

当n>3时，cos(pi/n) <1/2。从(1) 得到

                  2pi - 2n sin(pi/n) < 2n(pi/n)^3                         （2）

为了

                           2n(pi/n)^3 < d

 只要                  sqrt(2(pi^3)/d) < n

当 n > max{3, sqrt(2(pi^3)/d)} 时，2pi - 2n sin(pi/n) < d