內接正多邊形逼近圓周長。在一個單位圓上，做內接正n邊形。給定一個很小的正數d，當n大於多少時，圓周長-正n邊形周長<d？

解：

設內接正n邊形的某一個邊所對應的圓心角是2x, 也是對應的弧長。2x=2pi/n。根據圓面積，內接正n邊形面積，外切正n邊形面積的關係，得到如下不等式

                    sin(x) < x < tan(x)

   x - sin(x) < tan(x) - sin(x) = sin(x)(1-cos(x))/cos(x)=sin(x)(2sin^2(x/2))/cos(x)

   x - sin(x) < sin(x)(2sin^2(x/2))/cos(x) < x^3/(2cos(x))

               2nx - 2n sin(x) < 2n x^3/(2cos(x))

                  2pi - 2n sin(pi/n) < 2n(pi/n)^3/(2cos(pi/n))      (1)

當n>3時，cos(pi/n) <1/2。從(1) 得到

                  2pi - 2n sin(pi/n) < 2n(pi/n)^3                         （2）

為了

                           2n(pi/n)^3 < d

 只要                  sqrt(2(pi^3)/d) < n

當 n > max{3, sqrt(2(pi^3)/d)} 時，2pi - 2n sin(pi/n) < d