求所有正整数对(k,n)，使其满足

k! = (2^n − 1)(2^n − 2)(2^n − 4)· · ·[2^n − 2^(n-1)]            (0)

很显然，k=3, n=2 是一个解。k=1, n=1 是一个解。

对于n>2做如下分析。

把等号右边2因子都提出来

2^(0+1+2+...+(n-1))[(2^n − 1)(2^(n-1)− 1)(2^(n-2) − 1)· · ·(2^1− 1)]=

2^(n(n-1)/2)[(2^n − 1)(2^(n-1)− 1)(2^(n-2) − 1)· · ·(2^1− 1)]          (1)

其中，[]中是n个奇数连乘。

假定，k取2^m,把等号左边2因子都提出来。1到2^m中的所有偶数除2，得到商中的偶数再除2，...。得到等号左边2因子个数是

2^m-1。为了等号两边2因子个数相等，我们有

2^m-1 = n(n-1)/2                              (2）

从(2)得出，当n增加的时候，2^n比2^m增加得快。从(2)解出

2^n =2^[(2^(m+1)-2+1/4)^(1/2) +1/2]                (3)

用数学分析中的big O,

2^n =O(2^(2^(m/2)))                             (4)

(3),(4)说明，当n>2时，2^n >>2^m,也大于2^(m+1)

所以，当n>2时，假定(0)成立，为了满足(2)找到k, (2^m<k<2^(m+1)), 

2^n>k。(0)的右边2^n个数连乘，从大于1开始，每个数的间隔都大于等于1，(0)的右边当然大于左边k!。这矛盾，所以当n>2时，(0)没有解。

只有(k,n)=(3,2)，(1,1)这两个解。