证明。

2n个人排队买电影票。电影票价为50美分。2n人中，其中的n人每人只带了50美分，余下的n人每人只带了1美元纸币。电影院没有准备零钱可以找零。

问：这2n个人可以有多少种排队的方法，使得那些仅带1美元纸币的人都能得到50美分的找零？

解答：

把带50美分的人看成0，把带一美元的人看成1。这样，排队买电影票的2n个人构成了n个0，n个1组成的二进制数。总共有(2n,n)个不同的二进制数。

现在看看哪些二进制数代表的队是不能让电影院即时找钱的。

从排头到排尾扫描，如果扫到某个位置，之前的1比0多一个，那么这个队是不能让电影院即时找钱的。把这样的队称作不合格的。对于不合格的队，从排头到排尾扫描，第一次扫到某个位置，之前的1比0多一个，假设k个0，k+1个1，那么，之后有n-k个0，n-k-1个1。如果把之后的1换成0，0换成1，就构成了一个n-1个0, n+1个1组成的二进制数。

现在证明，不合格队的个数，与n-1个0, n+1个1组成的二进制数的个数相等。其实前面的叙述已经证明了，任给一个不合格的队，都能找到一个由n-1个0, n+1个1组成的二进制数的一个数与之对应。现从由n-1个0, n+1个1组成的二进制数中任取一元，从排头到排尾扫描，一定能扫到某个位置，之前的1比0多一个，假设k个0，k+1个1，那么，之后有n-k个1，n-k-1个0。如果把之后的1换成0，0换成1，因其有n个0，n个1，一定是一个不合格的队。这样就证明了，不合格队的个数，与n-1个0, n+1个1组成的二进制数的个数相等。那么，有(2n,n)-(2n,n-1) 种排队的方法能使电影院即时找钱。