证明：14个整数的4次方和不可能是1599。

解】
1】这14个整数根据它们的奇偶性，可以有两种情况：
【a】奇数个奇数+奇数个偶数；
【b】偶数个奇数+偶数个偶数。
由它们之和是奇数1599，可知只能是情况【a】。
可知，掌握“奇数个奇数”是证明此题的关键，可免去许多组合！
即1、3或5的总个数，是奇数。
在[1,5]中取此14个整数的值，见以下详述。

2】确定此14个整数的取值范围。显然可取值于 [1,6]。
但是，由于6^4=1296，而1599-1296=303。由1】，303里面可能存在1或3个3的4次方。
--1个3的4次方。303-81=222；而2的4次方为16，无法得到偶数个4【2、4、6、8、10或12。把前面的6算入，是奇数个偶数】，即使除去一些偶数个1【前面的3计入，为奇数个奇数】，也不能得到正好是222，亦即总和不能是1599.
--3个3的4次方。303-3*81=60。同样可得出类似以上的结论。
故可排除这14个整数中含有6，亦即取值于[1,5]即可。

3】由于5^4=625，而3^4仅为81，可知即使13个【14内的最大的奇数】个3的4次方，也小于1599。
显然，此14个整数中，至少有1个5的4次方。
问题简化为两大情况来讨论：
【a】此14个整数中，有1个5的4次方。
然后，分别考察12、10、8、6、4、2和0个3的4次方。
所以从12个3的4次方开始，因为1599-625=974较大而已。
考察3的各种情况时，对应考察偶数个数的4或2的4次方与之相加的情况；不足之处试着加上偶数个数的1。
以上七种分情况，都使得“1599不是14个整数的4次方”这个命题成立。
【b】此14个整数中，有2个5的4次方。
验证情况与【a】类似，只是把3的4次方个数换为奇数次：4、2或0次。

【a】加上【b】合计约10次。比起从14个数里取5个甚至6个数来，要简单得太多了。

以上过程简单而重复；如果建立一个四元或五元的一次不定方程，解起来还不如这样做简单呢！