生成函数方法虽然很爽，但需要用到高中数学才接触到的导数甚至台勒展开方法。这里来个Fibonacci数列初中代数的推导方法。这个初中方法虽然简单易学（儿子的feedback）
，但并不小儿科。与生成函数方法并列，这个初中代数方法也是推倒微分方程级数展开解展开系数的最常用手段之一。

Fibonacci数列 的递归表达为:

    F(n) = F(n-1) + F(n-2)

这是一个2次递归式。这个初中代数方法的精髓是把这个2次线性递归式写成一个（准）1次线性递归式:

    G(n) = b*G(n - 1)

这里

    G(n) = F(n) - a*F(n-1)

比较原2次递归式，不难找到常数a，b的对称关系:

   a + b = 1
   a*b = -1

很容易得到这个2次方程组的解为：

   a = (1+sqrt(5))/2,
   b = (1 - sqrt(5))/2

G(n)的1次递归关系G(n) = b*G(n - 1)的结果显然给出G(n)是个等比（几何）级数：

   G(n) = b^(n-1)

用F(n)表达，并考虑到a，b的交换对称性，上面的式子可以写成如下两个式子:

   F(n) - a*F(n-1) = b^(n-1)
   F(n) - b*F(n-1) = a^(n-1)

两式相减就的到F(n)的通项式关系:

   (a - b)*F(n-1) = a^(n-1) - b^(n-1)

从而的到最终结果：

   F(n) = (a^n - b^n)/(a - b) = (a^n - b^n)/sqrt(5)

推导完毕。。。