用時空量子概念理解惠施芝諾悖論

馬悲鳴

偉大領袖毛主席臨終前最後索要閱讀的書是南宋洪邁所著《容齋隨筆》。洪邁在《容齋隨筆》的「棰取半」一章中說：「《莊子》載惠子之語曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”雖為寓言，然此理固具。蓋但取其半，正碎為微塵，余半猶存，雖至於無窮可也。特所謂卵有毛、雞三足、犬可以為羊、馬有卵、火不熱、龜長於蛇、飛鳥之景未嘗動，如是之類，非詞說所能了也。

古希臘哲學家亞里士多德在《物理學》一書中記錄了公元前五世紀的希臘哲學家芝諾（Zeno of Elea）的四個與運動有關的悖論：

一、路程兩份法悖論
二、阿奇里斯(Achilles)悖論
三、飛矢不動悖論
四、隊列平移悖論

柏拉圖說，這些悖論最初是芝諾的老師巴門尼德編出來嘲笑「數學派」代表畢達哥拉斯提出的“1>0.999…”和“1-0.999…>0”的命題時，興之所至開的小玩笑。後來巴門尼德又用此嘲笑學生芝諾。芝諾反過來以此嘲笑老師；最終被記錄成芝諾悖論。

芝諾第一個悖論的描述是「向着一個目標運動的物體在到達目的地之前，首先必須經過該段路程的1/2；若要經過這個1/2點，則必須先經過該路程的l/4；要過l/4點又必先經過1/8…；以此類推，因這種一次取一半的路程分割是無法窮盡的，所以運動着的物體永遠不可能達到終點」。這個悖論和惠施“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”有點兒相似。

第二個悖論是“阿基里斯和烏龜賽跑”。阿基里斯是古希臘著名的長跑英雄。芝諾在想象中設計的實驗是，讓烏龜先跑一段路程，然後阿基里斯才開始追。「當阿基里斯到達自己出發時烏龜所在的位置時，烏龜已向前移動了一段路程；當阿基里斯再跑完烏龜剛移動過的這段路程時，烏龜又往前移動了一段路程…，只要阿基里斯從自己剛才的位置跑到烏龜剛才的位置，烏龜總能又往前移動一段路程到達前面新的位置；因此，阿基里斯永遠追不上烏龜。」

第三個悖論「飛矢不動」是說「一支射出去的箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因此在該時刻飛箭是靜止的。既然飛箭在每一個時刻都是靜止的，則無數靜止的累加仍然是靜止，飛箭就是不動的。」這和惠施說的“飛鳥之景未嘗動”的意思完全相同，只不過是換了個比喻事物，成了“飛箭之景未嘗動”。

第四個悖論是隊列平移。首先想象在操場上有三個兩頭對齊的並列隊列。隊列可以是人，也可以是任何其他隊列單元之間完全相同的物體。在一個單位時間內，一個隊列不動；另外兩個隊列各自向相反的方向挪動一個隊列單元。圖形如下：

初始狀態：

　▲▲▲▲　不動的觀眾隊列
　□□□□　右移隊列（→）
　■■■■　左移隊列（←）

結束狀態：

　▲▲▲▲　不動的觀眾隊列
　　□□□□　右移隊列（→）
■■■■　左移隊列（←）

由初始狀態到結束狀態，從不動的觀眾隊列所處的位置看，兩隊在同一單位時間裡都位移了一個隊列單元。但從兩個相互作反方向運動的隊列之間看對方，則在同樣的單位時間裡，雙方都相對移動了兩個隊列單元。同一時間單位里移動兩個隊列單元，相當於移動一個隊列單元費時半個時間單位。既然從不動的觀眾隊列所處的位置看，兩隊移動一個隊列單元費時一個時間單位，而兩個移動隊列互相看對方則是移動一個隊列單元費時半個時間單位。同樣是移動一個隊列單元，一個時間單位等同於半個時間單位，因此一分鐘等於三十秒。

這四個運動悖論里，以第二個悖論“阿基里斯和烏龜賽跑”最為著名。對其他不熟悉阿基里斯為誰的國家民族來說，這個悖論通常被簡稱為“龜兔賽跑”。其他三個悖論看起來都有點賴包。

十九世紀末，瑞利-金斯根據能量連續變化假設所推導出的黑體輻射能量公式在紫外短波區隨着波長變短，輻射強度可以無止境地增加（所謂“紫外災變”），和實驗數據相差越來越大。二十世紀初，普朗克用能量分立假設代替能量連續假設，則新的公式與實驗數據附和得很好。

以此類推，如果把惠施芝諾悖論里時間和空間的連續性假設，也即無限可分假設轉換成並非無限可分的量子假設，兔子就能追上烏龜。

所謂量子的概念，就是指存在一個不可再分的基本“顆粒”；對時空來說，就是存在一個最短空間路段和最短時段是不能再分的，就能避免惠施芝諾悖論。

物體運行，不管是阿基里斯和烏龜賽跑，還是運動物體向目標出發，包括我們自己行走，都不是無限連續的，而是跳躍的。在一個最短時段（量子時間），跳過一個或幾個最短空間路段（量子空間）。在阿基里斯追過烏龜的那一剎那的量子時段里，烏龜跳過了一個單位的量子空間路段，而阿基里斯跳過了一千個單位的量子空間路段（假設阿基里斯的速度是烏龜的一千倍），阿基里斯就能超越烏龜。現實正是這樣。

只要時間和空間有個最小不可再分的量子份額，芝諾悖論就不可能發生。既然空間也是量子的，自然“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”也不可能。

“一尺之棰，日取其半”到什麼時候竭呢？下面是一個表。其中第一列是日期，第二列是所余之半。這個表是從第二天才開始“日取其半”的。

    天                所余之半
    1                1
    2                0.5
    3                0.25
    4                0.125
    5                0.0625
    6                0.03125
    7                0.015625
    8                0.0078125
    9                0.00390625
    10                0.001953125
    11                0.000976563
    12                0.000488281
    13                0.000244141
    14                0.00012207
    15                6.10E-05
    …
    31                9.31E-10
    32                4.66E-10
    …
    60                1.73E-18
    61                8.67E-19
    …
    111                7.70E-34
    112                3.85E-34
    …
    121                7.52E-37
    122                3.76E-37

到第32天，也即第一個月結束後，所余已經是10-10，到了「公斤/米/秒」制的原子直徑尺寸了。到第二個月結束時，已是10-18，到了夸克的尺寸。第112天就到了普朗克常數（6.623E-34）的數量級。故“一尺之棰，日取其半”不可能超過四個月就無論如何也竭了。

一位父親請兒子去東來順吃涮羊肉。父親指着巨型火鍋說，這鍋里還是乾隆年間剛開張時留下的那鍋湯呢。兒子問何以見得？父親說，這家店只往鍋里添水，從來不換鍋里的湯。兒子說，那咱們算一算。就算每天顧客消耗和蒸發掉的水分能占一半。則從乾隆年間開張那天算起，當天的初始原湯只剩半鍋，另半鍋是新添的水。第二天打烊時初始原湯還剩1/4鍋，第三天還能剩1/8鍋，…照這個速度衰減下去，到第四個月結束時，那鍋初始原湯只能剩下不到10-36了。而夸克的直徑只有10-18方。開張兩個月，整鍋湯里只剩一個夸克的初始原湯。這之後連一個夸克都沒剩下，咱們現在如何能吃到大清乾隆年間的剩湯？

為什麼我們感覺不到量子化的空間和時間呢：“我只是在散步，並沒有作三級跳遠啊？”

在人能感受到的「公斤/米/秒」或小十萬倍的「克/厘米/秒」，或大一百萬倍的「噸/公里/秒」制下，人類感覺不到空間和時間量子。就如帶狀電影膠片上的畫面都是固定不變的。當每秒跳過24幅畫面時，觀眾就感覺到銀幕上的物景是在連續動作。一秒鐘24幅畫面不是勻速經過放映機鏡頭的，而是每幅畫面跳到鏡頭前暫停一下。這個“一下”略小於1/24秒。然後跳離，同時下面一幅跳入。之所以說“略小於1/24秒”，因為“跳”本身也還需要消耗一定時間，但這個膠片跳躍時間短到不足以在觀眾的大腦中留下視覺暫留信號。

列寧在《唯物主義還是經驗批判主義》一書中鐵口直斷：“電子也是無限可分的。”

現在已經分了！分到夸克，再往下沒法分了。即使還能繼續分下去，那麼在每一次分完後，都會停留在下一個量子階段，分不下去了。即使能再繼續分下去，所能分的次數也是有限的，不可能無限分下去。

假如時間是連續的，或無限可分的，而速度的量綱是空間和時間的比值（空間位移/時間），那麼當空間位移有限而時間無限短時，速度就會變得無限大。在現實物理世界，速度是有極限的，就是每秒三十萬公里的光速。因為速度有極限，就意味着時間不可能無限細分。要想實現超光速，只要設法把時間量子再細分一個量級就成。

所謂“無限可分”是數學上的概念。數學上不管多大的分母都是允許的，確是“日取其半，萬世不竭”。一年365天，一世紀一百年，加上25閏，共計36525天。一萬個世紀相當於365250000，或曰三億六千五百二十五萬天。日取其半，則還剩下2-365250000那麼丁點。而根據上述列表，突破普朗克常數是在第111天到第112天之間。

雖然在數學上想怎麼細分都可以，但在現實物理的空間、時間和物質粒子的最小單位卻不是無限可分，而是量子化，或者說是分立、階躍、離散、有限可分的，不可能分到數學所能表達的這麼細小。

惠子和芝諾把數學上的無限可分概念用到了物理上，所以才導出這些悖論。儘管如此，惠子和芝諾還是向人類思想史提供了智力體操館，逼着後世，比如南宋的洪邁，去做抽象思考，盡情享受思維的樂趣。

在大型建築物門前有台階，也有供輪椅用的斜坡。斜坡的抬升或下降是連續的。台階就是階躍的。人的腳要麼踏在一級台階上，要麼踏在另一級台階上，不可能止步在兩級台階的高度之間。空間、時間和物質粒子小到可以和普朗克常數相比擬時，就都是分立、或曰離散、或曰量子化、或曰階躍的。而且這個“階”不可能是無限小。

中國古代所謂“至大無外，至小無內”。“上下四方曰宇，古往來今曰宙”。宇宙至大到時間百億年，空間半徑百億光年；至小到普朗克常數的數量級(通常用的狄拉克約化的普朗克常數再小2π分之一，大約在1.05457168×10-34焦耳秒，約等於10-34)。

我們現在這個宇宙不但外在的時空外延是有限的。而且內在的時空分割也是有限的。在某個可以和普朗克常數相比擬的量子級別就分不下去了。

那麼宇宙的至大之外是什麼，至小之內又是什麼？

我不知道。

你若非說至大之外還有存在，最好你能一個跟頭翻出至大之外去撒泡猴尿，寫個“到此一游”，拍張照片，拿回來以為證據。至小之內也可請你鑽進去照此辦理。

我能對至大之外說的就是，在你讀完此文的最後一秒里，宇宙的存在時間又延續了一秒，空間半徑又延伸了三十萬公里。這便是倒數第二秒時的時空至大之外。眼下的至大之外要等下一秒到來之後才能知道。正所謂“無極之外復無極也”。

我的看法處處與國內政治課上講授的辨證唯物主義哲學相左。

20091206

【網評】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

* 頓首不必，討論即可。經典物理學和自然哲學是把物體當作沒有體積的質點來處理的，而時間也可以沒有長度。我曾把這樣的物理學叫作幾何物理。幾何學中的點、線和面都是沒有體積的。自從量子物理學誕生後，人們依然沿用幾何物理的概念解釋量子尺度的問題，故有海森堡的所謂“測不準原理”之謬論。將時空量子化後，不再有測不準之現象。例如將一列火車看成一個點，我們可以說某時某刻，火車準確的點位置。但火車畢竟不是一個點。故用小於火車尺度的儀器來探測某時某刻火車的點位置時，同樣會發現是測不準的。這時如果不再將火車當作一個點，某時某刻火車的位置就很容易用地段來精確確定。奇怪的是時空量子化至今沒有被人們注意到。量子物理學中的量子空間有不同的含義。物理學家依然在津津樂道海森堡的“測不準原理”。偉大與平凡之間的一步之遙需要幾代人的時間才能超越□不愧是芝諾的小兔子。惠子悖論與之相近。芝諾悖論是將兔子的追趕時間人為地加以限制而產生的。西方科學中像“測不準原理”那樣的謬論俯拾皆是，包括愛因斯坦的相對論。亞理士多德曾統治西方物理學兩千年，不足為奇。悲鳴博亦能看破，可喜可賀。 --馬力

* 純粹瞎掰！ --侃侃