閒侃 (6)：從智商到決定論

送交者: 紫荊棘鳥 2013年12月04日14:20:01 於 [五 味 齋] 發送悄悄話

昨天論壇有幾個話題，大伙兒聊得比較多的是智商 (IQ)、以及天才維納 (Norbert Wiener)。維納的話題是因為深山蘭同學的帖子：維納的兩次遭遇 。這裡俺再就這兩個話題補充幾句，特別是如何將這兩個話題聯繫起來，看是不是有些意思。 0) 先來幾句“鋪墊”。這裡我們假設只討論成人的智力，並且假設所討論的每個人智力是不變的，假設我們討論的是目前最流行的韋克斯勒成人智力量表。智力，比較明顯的是個體概念，因為這是你個人的某種屬性；但是智商 IQ 則不是，智商是個集約的概念，它是將某個人的智力拿去和其他人相比較而得到的一個值。這和“道德”這樣的概念是類似的，離開了群體去談論道德是卑鄙還是高尚是沒有意義的。比較明顯的是，函數 f       IQ = f (智力) 理論上是個單調函數，所以從這個意義而言，在群體/樣本空間給定後，智商 IQ 就是智力的一種度量，它們之間存在 1-1 對應關係。 在韋克斯勒成人智力量表中，在假設服從正態分布的前提下，智商的平均值被定義成 100，標準差被定義成 15，見下圖 (from online)： 這自然意味着，大約有 68% 的人智商在 85-115 之間，大約有 95.45% 的人智商在 70-130 之間，所以智商高於 130 的人大約只占 2.27%。 1) 關於 IQ 測試的兩句題外話。 話題 1a)：因為“智力”這個概念在 IQ 測試前就存在，所以傳統意義下的“智力”，和 IQ 測試下的“智商”---- 從而智力，因為智商和智力存在 1-1 對應關係 ---- 就會有偏差，這是一般的 IQ 測試成績用來度量智力而招致批評的主因。不過據統計，IQ 值和成績測試之間的相關係數很高，大約有 0.70+，而 GRE 分數和成績測試之間的相關係數不足 0.2。 話題 1b)：東亞人 (大陸、台灣、香港、日本、南韓等) 的 IQ 值全球最高，部分原因是因為東亞人的學習方式造成的，應試教育能使得這個分數偏高。當然這個說法會使得部分民族自豪感很強的同學不高興。 2) 你的智商是多少：頻率學派和貝葉斯學派的分歧 你的智力是你的一種固有屬性，所以你可以假設它是個固定值。但是你的智商呢？因為智商是個集約概念，它的平均值被定義成 100，所以你的智商 IQ 值，很明顯，是樣本空間的一個變量。如果測試的樣本空間是全大陸或者全世界，你的 IQ 值若是 100，那就是十足的中庸之資，只能拿來在一群笨蛋前面顯擺；但是如果樣本空間是全世界的傻博士甚至是全體炸藥獎得主，那得個 100 的分數就是件值得顯擺的事情，至少比巴靈頓大學高才生吳征博士強。 所以不妨固定樣本空間，例如假設樣本空間是大陸。因為理論上你的智力和智商存在 1-1 對應關係，所以樣本空間固定了，你的智商理論上也有個值。假設你在某次測試中得到了一個分數 120，這個 120 是不是就是你的真實 IQ 呢？很明顯，不大可能恰好就是，因為你若參加數次測試，你的分數可能是 120、115、124、119、119、123 等之類。大家知道，統計的一個使命就是從這些觀測值出發，推出你的真實智商是多少。當然你可以用各種看上去比較合理的推斷法，例如最小二乘；例如最大似然、最大後驗等。用統計術語來說，這裡的任務就是對你的智商這個“參數”進行估計，其中最大似然、最大後驗這兩種方法 (本質上，前者是後者的特例) 和概率中的貝葉斯 (Bayes) 定理密切相關，具體細節就沒必要說了。貝葉斯本人可以說是歷史上最大牌的“民科數學家”之一。他帶來的影響不只是數學方面的，也有哲學方面的，歷史上著名的哲學流派“貝葉斯學派”就是以他的名字命名的。 為啥這會牽涉到哲學？而且這和深山蘭的帖子、特別是“決定論”有啥關係？ 回到咱們的話題。咱們現在的任務是從一系列的 IQ 測試成績去估算出真實 IQ，對不對？所以一個很自然的想法就是，我雖然不知你的 IQ 的值到底是多少，但是我知道它一定是存在的，是個固定值，不會改變，亦即 IQ = constant；如果測量值越多，我們就能越精確地知道真實的 IQ 值，對不對？持這種觀點的學派，稱為古典的頻率學派 (Frequentists)，和它對立的就是貝葉斯學派(Bayesians)。貝葉斯派則認為你的真實 IQ 並不是一個固定值，而是一個隨機值，也就是說，你的真實 IQ 也可以是個分布：      IQ = g (IQ) 這裡 g 就是參數 IQ 所服從的分布。所以從模型而言，貝葉斯學派的模型比頻率派的模型更複雜，從計算角度而言，大體上貝葉斯學派關於你的 IQ (注意此時你的 IQ 是個分布) 結果，亦即所謂的後驗分布，就是頻率派的似然函數乘以所謂的先驗分布函數。所以從方法論/哲學的角度而言，頻率學派可以說是 static 的，貝葉斯學派可以說是 dynamic 的，後者的模型是不確定的，完全取決於觀測數據 (亦即你的一系列 IQ 測量分數)，以及一個帶有主觀色彩的先驗分布，然後用似然函數去修正先驗分布，然後得到後驗分布 (亦即你的 IQ 到底是多少的一個概率分布)。自然規律 (例如你的真實智商) 到底是什麼，頻率派認為是客觀存在的，不以你的觀測結果和主觀判斷而改變；貝葉斯學派則認為自然規律依賴你的觀測結果 (例如你的 IQ 測量值)，不同的觀測結果會導致不同的客觀規律，而且和主觀的先驗分布有關；也就是說，觀測數據 (外加主觀的先驗分布) 決定了客觀規律是什麼。 所以，你的智商到底是多少？呵呵，是不是不說還成，現在倒貌似越說越糊塗了？ 3) 胡侃決定論：和深山蘭商榷 儘管不是一回事，但是經典的頻率派和貝葉斯學派的區別，和經典物理和哥本哈根學派對量子力學的解釋，是有些相似的。大體上講，頻率派和以愛因斯坦為代表的經典物理學派類似，而貝葉斯學派則和玻爾、玻恩的哥本哈根學派觀點類似。 長話短說，回到深山蘭昨天的一則跟評 (見 http://bbs.creaders.net/life/bbsviewer.php?btrd_id=3170631&btrd_trd_id=913125，這裡拷貝如下)： 龐加萊對混沌的認識是今天混沌理論的先驅。今天知道，我們的這個世界根本不是嚴格決定論的。 他對世界這個特性的認識，是遠遠走在時代前列的。而愛因斯坦卻一直抱着牛頓力學推導出來的決定論的東西不放，這是他為什麼極力反對量子力學的根本原因。很顯然，在此點上，愛氏被時代遠遠拋棄了。當然，我們不能就說龐加萊超過了愛氏。僅說二人是一個水準上的。 首先，愛因斯坦-玻爾之間的之爭里，那裡的“決定論”，和這裡混沌理論 (當然還有別的，例如布朗運動) 中的“決定”，不是一個意思，是有本質區別的。愛-玻之爭的決定 (自然就是包括相對論在內的經典物理之決定論)，老愛認為是本質的，而量子力學的統計結果不是本質的，經典的決定論仍然起作用，儘管如何起作用的，老愛以及薛定愕、玻姆等人回答不了，但回答不了並不等於經典的決定論不起作用；但玻爾、玻恩等人的觀點是經典的決定論失效，統計詮釋是本質的。 但是混沌理論、布朗運動以及別的例如熱力學等，決定論並沒有失效。例如10000 個花粉在水分子的撞擊下做布朗運動，物理學是能夠提供描述這些花粉運動的精確解的動力學方程組的，儘管實際上這做不到。水分子隨機撞擊花粉的布朗運動，經典的決定論並沒有失效，你之所以不這麼做，是因為你能力有限，解不出幾萬億個方程組。但你不能，並不意味着耶和華不能。但根據量子論的觀點，耶和華在開啟黑匣子前是對薛定愕貓的生死狀態也斷言不了的；電子的具體位置，耶和華也是無法精確測量的。這是因為本質，而不是因為技術上的困難。如果我們能瞬間秒解幾萬億個方程組，熱力學就是多餘的，熵增定律就可以拋進爪窪島，因為它們是多餘的。 如果貝葉斯學派是本質的，那麼耶和華也回答不出你的智商到底是哪個固定值，因為它不存在一個靜態的值，它會隨着觀測數據的改變而不斷地被修正。耶和華只能給你一個後驗的動態分布結果。 經典物理的決定論只在一種情況下失效：在廣義相對論模型下，強引力場存在閉合迴路的情形。但即使是這樣，這種失效和量子論的統計解釋中的失效也是不同的：前者的失效不是本質的，而是因為整體積分迭加的結果，這種失效是 traceable 的，而在局域範圍內決定論總是有效的；後者則是本質的，是因為上帝在拋硬幣。

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